Um elemento e in E é neutro à esquerda para * se e * x=x para todo x in E.
Determine os elementos neutros à esquerda para a operação de multiplicação em
E=(cc a & b 0 & 0 ) rvert, a, b in R

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os elementos ein E tais que e seja neutro à esquerda da multiplicação em
E=a & b0 & 0rvert,a,bin R
Em outras palavras, queremos e*X=X para todo Xin E.

Passo 2

Vamos tomar um elemento genérico
e=a & b0 & 0 e X=c & d0 & 0,
com a,b,c,din R.

Passo 3

Calculamos o produto e cdot X pelo produto usual de matrizes:
e cdot X =a & b0 & 0 c & d0 & 0 = a,c + bcdot 0 & a,d + bcdot 0 0cdot c + 0cdot 0 & 0cdot d + 0cdot 0 =a,c & a,d0 & 0

Passo 4

Queremos que e*X=X para todo c,d. Logo
a,c & a,d0 & 0 ;=; c & d0 & 0 forall,c,d
Isto exige
a,c = c, a,d = d forall,c,d
Como c,d são arbitrários, isto implica a=1. Note que b não aparece nessas equações, então b é livre.

Passo 5

Concluímos que os elementos neutros à esquerda são exatamente as matrizes da forma
1 & b0 & 0,
com bin R.

Resposta

1 & b0 & 0m|bin R

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