Se um circuito elétrico tiver uma resistência R (ohms) e um capacitor de capacitância C (farads) em série, e uma f.e.m. E (volts), a carga q (coulombs) do capacitor é dada por
R d qd t+qC=E
Achar q sabendo que E(t)=E0 sen(omega t) volts, omega neq 0, E0 neq 0, e q(0)=q0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
Rdqdt+qC=E0sin(omega t),
com condições omeganeq0, E0neq0 e q(0)=q0.
O conteúdo é solução de EDO linear pelo método da soma da solução complementar (homógenea) e de uma solução particular (coeficientes indeterminados).

Passo 2

Reescrevemos na forma padrão
dqdt+1RC,q=E0Rsin(omega t)
Definimos
a=1RC

Passo 3

A solução complementar (homógenea) vem de
dqhdt+a,qh=0 Longrightarrow qh(t)=K,e^-a t =K,e^-t/(RC)

Passo 4

Procuramos uma solução particular da forma
qp(t)=Asin(omega t)+Bcos(omega t)
Então
dqpdt =Aomegacos(omega t)-Bomegasin(omega t),
e, ao substituir em
dqdt+a,q=E0Rsin(omega t),
obtemos, após agrupar termos em sin(omega t) e cos(omega t), o sistema
-,Romega B+AC=E0, Romega A+BC=0
Resolvendo para A e B, chega-se a
A=E0,C1+omega^2R^2C^2, B=-E0,R,C^2,omega1+omega^2R^2C^2

Passo 5

A solução geral é
q(t)=qh(t)+qp(t) =K,e^-t/(RC) + Asin(omega t)+Bcos(omega t)
Para t=0,
q(0)=q0 =K + Asin(0)+Bcos(0) =K+B ;Longrightarrow; K=q0 - B =q0 + E0,R,C^2,omega1+omega^2R^2C^2

Passo 6

Substituindo A, B e K na solução geral, obtemos
q(t) =E0,C1+omega^2R^2C^2,sin(omega t) -E0,R,C^2,omega1+omega^2R^2C^2,cos(omega t) +l(q0+E0,R,C^2,omega1+omega^2R^2C^2r) e^-t/(RC)

Resposta

q(t) =E0,C1+omega^2R^2C^2,sin(omega t) -E0,R,C^2,omega1+omega^2R^2C^2,cos(omega t) +l(q0+E0,R,C^2,omega1+omega^2R^2C^2r) e^-t/(RC)

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