Dê o volume do sólido descrito, em coordenadas esféricas, pelas desigualdades dadas
(b) rho <= 1,0 <= theta <= 2 pi e 3 pi4 <= varphi <= pi

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido em coordenadas esféricas definido por
0 <= rho <= 1, 0 <= theta <= 2pi, 3pi4<= varphi <= pi
O conteúdo usado será o cálculo de volume via integral tripla em coordenadas esféricas, em que o elemento de volume é dV=rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta.

Passo 2

Escrevemos a integral para o volume:
V = integraltheta=0^2piintegralvarphi=tfrac3pi4^piintegralrho=0^1 rho^2,sinvarphi;drho;dvarphi;dtheta

Passo 3

Integramos primeiro em rho:
integral0^1rho^2,drho = gl[rho^33gr]0^1 = 13
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V = integral0^2piintegraltfrac3pi4^pi 13,sinvarphi;dvarphi;dtheta

Passo 4

Agora integramos em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi,
de modo que
V = 2pi3integraltfrac3pi4^pisinvarphi;dvarphi

Passo 5

Por fim, integramos em varphi:
integraltfrac3pi4^pisinvarphi;dvarphi = l[-cosvarphir]tfrac3pi4^pi = l(-cospir)-l(-costfrac3pi4r) = 1 - raiz22 = 2-raiz22
Substituindo em V obtém-se
V = 2pi3,2-raiz22 = pi,(2-raiz2)3

Resposta

V = pi,(2 - raiz2)3

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