Calcular, por dupla integração, a área da região acima do eixo x, limitada pela parábola semi-cúbica y^2=x^3 e a reta y=x,
(a) integrando primeiro em relação a x;

Passo 1

Vamos calcular a área da região acima do eixo x limitada pela parábola semi-cúbica y^2=x^3 e pela reta y=x. O conteúdo envolvido é dupla integração e, como pedem, vamos descrever uma região “simples em y” para integrar primeiro em x.

Passo 2

Primeiro achamos os pontos de interseção de
y^2=x^3
e
y=x
Substituindo x=y na parábola vem
y^2=y^3;Longrightarrow;y^2(1-y)=0;Longrightarrow;y=0 ou y=1
Como estamos acima do eixo x, y varia de 0 até 1. Para cada y nessa faixa, o valor de x na parábola é
x=l(y^2r)^1/3=y^2/3,
e na reta é x=y. Para 0<y<1 vale y<y^2/3, então x vai de x=y até x=y^2/3.

Passo 3

Escrevendo a área A como integral iterada, com integração interna em x e externa em y, temos
A=integraly=0^1!l[integralx=y^,y^2/3dxr],dy

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em x:
integralx=y^,y^2/3dx =l[xr]x=y^x=y^2/3 =y^2/3-y
Logo
A=integral0^1l(y^2/3-yr),dy

Passo 5

Agora integramos em y:
integral0^1y^2/3,dy =y^5/35/3|0^1 =35, integral0^1y,dy =y^22|0^1 =12
Portanto
A=35-12 =6-510 =110

Resposta

A área da região é 110.

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