1-8. Encontre uma equação para o plano pi tangente e equações paramétricas para a reta r normal à superfície no ponto P (pág. 994 - Cálculo - Howard Anton Vol. II).
  1. z=4 x^3 y^2+2 y ; P(1,-2,12)
  2. z=12 x^7 y^-2 ; P(2,4,4)
  3. z=x e^-y ; P(1,0,1)
  4. z=raizx^2+y^2 ; P(-1,0,0)
  5. z=e^3 y sen 3 x ; P(pi / 6,0,1)
  6. z=x^1 / 2+y^1 / 2 ; P(4,9,5)
  7. x^2+y^2+z^2=25 ; P(-3,0,4)
  8. x^2 y-4 z^2=-7 ; P(-3,1,-2)

Passo 1

Vamos resolver o primeiro exercício. A questão nos pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por z = 4x^3y^2 + 2y no ponto P(1, -2, 12) . Além disso, precisamos determinar as equações paramétricas da reta normal à superfície nesse ponto. Para isso, utilizaremos conceitos de derivadas parciais e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o ponto P(1, -2, 12) realmente pertence à superfície z = 4x^3y^2 + 2y . Substituindo x = 1 e y = -2 na equação:
z = 4(1)^3(-2)^2 + 2(-2) = 4 times 1 times 4 + (-4) = 16 - 4 = 12
Portanto, o ponto P(1, -2, 12) está na superfície.

Passo 3

Para encontrar a equação do plano tangente, precisamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y :
partial zpartial x = 12x^2y^2
partial zpartial y = 8x^3y + 2

Passo 4

Avalie as derivadas parciais no ponto P(1, -2, 12) :
partial zpartial x|(1,-2) = 12(1)^2(-2)^2 = 12 times 1 times 4 = 48
partial zpartial y|(1,-2) = 8(1)^3(-2) + 2 = -16 + 2 = -14

Passo 5

A equação do plano tangente pode ser escrita usando a fórmula:
z - z0 = partial zpartial x(x - x0) + partial zpartial y(y - y0)
Substituindo os valores:
z - 12 = 48(x - 1) - 14(y + 2)

Passo 6

Simplificando a equação:
z - 12 = 48x - 48 - 14y - 28
z = 48x - 14y - 64

Passo 7

Agora, para encontrar as equações paramétricas da reta normal, utilizamos o vetor normal ao plano tangente, que é dado pelas derivadas parciais:
n = ( partial zpartial x, partial zpartial y, -1 ) = (48, -14, -1)
As equações paramétricas da reta normal que passa por P(1, -2, 12) são:
x = 1 + 48t
y = -2 - 14t
z = 12 - t

Resposta

A equação do plano tangente é z = 48x - 14y - 64 e as equações paramétricas da reta normal são:
x = 1 + 48t
y = -2 - 14t
z = 12 - t

Exercícios relacionados