En cada caso, use o Teorema de Stokes para calcular a Integral de Linha de Circulação do Campo Vetorial dado ao longo da curva especificada:
F(x, y)=e^x ln y i+e^xy j; C é o triângulo com vértices: (0,0); (2,0); e (2,4);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a circulação
ointC F cdot dr
onde
F(x,y) = e^x ln y , i + e^xy , j,
e C é o triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (2,4), orientado positivamente (sentido anti-horário). O enunciado sugere usar o Teorema de Stokes no plano (que, no caso, é o Teorema de Green), que transforma a integral de linha num integral dupla sobre a região D interna a C:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD l( partial Qpartial x - partial Ppartial y r) , dA

Passo 2

Para aplicarmos Green, precisamos que F seja C^1 num aberto que contenha toda a região D (incluindo suas fronteiras). Mas F contém ln y e tfrac1y, que só estão definidos e são C^1 para y>0.

Passo 3

Contudo, o lado do triângulo entre (0,0) e (2,0) fica exatamente em y=0, onde ln y e tfrac1y não existem. Logo nem Green nem a integral de linha ao longo desse segmento fazem sentido — o campo F não está definido ali.

Resposta

A integral de circulação não está bem definida, pois o vetor F não existe ao longo da aresta em y=0, impedindo tanto o uso do Teorema de Green quanto a parametrização direta dessa parte de C.

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