En cada caso, use o Teorema de Stokes para calcular a Integral de Linha de Circulação do Campo Vetorial dado ao longo da curva especificada:
f(x, y)=(2 artg(yx)-y) i+ln(x^2+y^2) j; C é o quadrado com vértices: (1,1); (3,1); (3,3); e (1,3);

Passo 1

O enunciado pede a circulação
ointCP,dx+Q,dy
do campo
P(x,y)=2arctan!l(yxr)-y, Q(x,y)=lnl(x^2+y^2r)
ao longo do quadrado C com vértices (1,1), (3,1), (3,3) e (1,3).
O conteúdo aqui é o Teorema de Stokes no plano (Teorema de Green), que transforma a integral de linha numa integral dupla sobre a região D limitada por C.

Passo 2

Pelo Teorema de Green temos
ointCP,dx+Q,dy = integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr)dA,
onde D=(x,y)mid1<= x<=3,;1<= y<=3.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais.
Para
Q(x,y)=lnl(x^2+y^2r)
temos
partial Qpartial x =1x^2+y^2cdot2x =2xx^2+y^2
Para
P(x,y)=2arctan!l(yxr)-y
note que
ddyarctan!l(yxr) =1/x1+(y/x)^2 =xx^2+y^2.
Logo
partial Ppartial y =2cdotxx^2+y^2-1 =2xx^2+y^2-1

Passo 4

O integrando fica
partial Qpartial x-partial Ppartial y =2xx^2+y^2 -l(2xx^2+y^2-1r) =1

Passo 5

Assim a integral dupla é
integral duplaD1,dA =Área(D) =(3-1),(3-1) =4 Á

Resposta

A circulação ointCP,dx+Q,dy vale 4.

Exercícios relacionados