Em cada caso: (i) verifique se o critério das linhas é satisfeito; (ii) resolva por Gauss-Jacobi, (iii) resolva por Gauss-Seidel se possível:
A=\left(\begin{array}{ccc}10 & 1 & 1 \\\ 1 & 10 & 1 \\\ 1 & 1 & 10\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{l}12 \\\ 12 \\\ 12\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede três coisas para o sistema linear dado:
A=\begin{pmatrix}10 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & 10 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 10\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}12\\[4pt]12\\[4pt]12\end{pmatrix}.
As perguntas são:
  1. Verificar se o critério das linhas (diagonal dominante por linhas) é satisfeito.
  2. Resolver por Gauss–Jacobi (isto é, apresentar o método, aplicar iterações e mostrar que converge para a solução).
  3. Resolver por Gauss–Seidel, se possível (mesma ideia: escrever as fórmulas, aplicar iterações e verificar a convergência).
    Informações relevantes fornecidas: os coeficientes da matriz A e o vetor b. Não foi dado palpite inicial, então vou escolher o palpite padrão \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0)^T para comparar métodos.]

Passo 2

Verificação do critério das linhas (explicação didática):
O critério de dominância por linhas diz: uma matriz A=(a_{ij}) é estritamente diagonal dominante por linhas se, para cada linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
Isto é útil porque, quando a matriz é estritamente diagonal dominante por linhas, tanto o método de Jacobi quanto o de Gauss–Seidel são garantidos de convergir para a solução do sistema (esta é uma condição suficiente de convergência). Aqui, calculemos para cada linha:
  • Para a linha 1: |a_{11}|=10 e \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=|1|+|1|=2. Como 10>2, a linha 1 é estritamente dominante.
  • Para a linha 2: |a_{22}|=10 e \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=1+1=2. Então 10>2.
  • Para a linha 3: |a_{33}|=10 e \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=1+1=2. Então 10>2.
    Conclusão: todas as linhas são estritamente dominantes, logo o critério das linhas é satisfeito e ambos os métodos iterativos (Jacobi e Gauss–Seidel) devem convergir.

Passo 3

Formulação do método de Gauss–Jacobi (explicação didática e aplicação ao sistema):
Regra geral do método de Jacobi para o sistema Ax=b: para cada i,
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j\ne i}a_{ij}x_j^{(k)}\Bigr).
Isso significa: para atualizar a componente i na iteração k+1 usamos apenas os valores da iteração anterior k (não usamos atualizações parciais da mesma iteração). Aplicando ao nosso sistema, com incógnitas x_1,x_2,x_3,
x_1^{(k+1)}=\frac{1}{10}\bigl(12-x_2^{(k)}-x_3^{(k)}\bigr),
x_2^{(k+1)}=\frac{1}{10}\bigl(12-x_1^{(k)}-x_3^{(k)}\bigr),
x_3^{(k+1)}=\frac{1}{10}\bigl(12-x_1^{(k)}-x_2^{(k)}\bigr).
Observação útil (simplificação): se partirmos de \mathbf{x}^{(0)} com todas as componentes iguais (por exemplo (0,0,0)^T), por simetria todas as componentes permanecerão iguais em todas as iterações. Então podemos definir uma sequência escalar s^{(k)} tal que x_i^{(k)}=s^{(k)} para i=1,2,3. Substituindo na fórmula:
s^{(k+1)}=\frac{1}{10}\bigl(12-2s^{(k)}\bigr)=1,2-0,2\,s^{(k)}.
(Isto é muito conveniente para cálculo manual na prova.)

Passo 4

Iterações de Gauss–Jacobi (cálculo passo a passo usando \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0)^T):
Começamos com s^{(0)}=0.
  • k=0\to1: s^{(1)}=1,2-0,2\cdot 0=1,2. Então \mathbf{x}^{(1)}=(1,2,1,2,1,2)^T (escrito como (1,2,1,2,1,2)^T apenas para deixar claro: cada componente =1,2).
  • k=1\to2: s^{(2)}=1,2-0,2\cdot 1,2=1,2-0,24=0,96.
  • k=2\to3: s^{(3)}=1,2-0,2\cdot 0,96=1,2-0,192=1,008.
  • k=3\to4: s^{(4)}=1,2-0,2\cdot 1,008=1,2-0,2016=0,9984.
  • k=4\to5: s^{(5)}=1,2-0,2\cdot 0,9984=1,2-0,19968=1,00032.
    Vemos os valores oscilando em torno de 1 e convergindo rapidamente. Análise do erro: define-se e^{(k)}=s^{(k)}-1. Da recorrência obtemos
e^{(k+1)}=-0,2\,e^{(k)}.
Logo o fator de contração (módulo) é 0,2 — o erro diminui por um fator 0,2 a cada iteração (com mudança de sinal), o que explica a convergência rápida ao ponto fixo s=1. Portanto, a solução limite é s=1 e assim \mathbf{x}=(1,1,1)^T.

Passo 5

Formulação do método de Gauss–Seidel (explicação didática e aplicação ao sistema):
Regra geral do método de Gauss–Seidel:
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}\Bigr).
Isto significa: ao atualizar x_i na iteração k+1 usamos já as componentes atualizadas x_1^{(k+1)},\dots,x_{i-1}^{(k+1)} (se já foram calculadas nesta iteração) e as componentes não atualizadas permanecem na iteração anterior. Aplicando ao nosso sistema:
x_1^{(k+1)}=\frac{1}{10}\bigl(12-x_2^{(k)}-x_3^{(k)}\bigr),
x_2^{(k+1)}=\frac{1}{10}\bigl(12-x_1^{(k+1)}-x_3^{(k)}\bigr),
x_3^{(k+1)}=\frac{1}{10}\bigl(12-x_1^{(k+1)}-x_2^{(k+1)}\bigr).
Observação: por causa da dominância diagonal e da estrutura, Gauss–Seidel também converge; normalmente converge mais rápido que Jacobi porque usa informação mais recente.

Passo 6

Iterações de Gauss–Seidel (cálculo passo a passo com \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0)^T):
  • It.: k=0\to1:
    • x_1^{(1)}=\dfrac{1}{10}(12-0-0)=1,2.
    • x_2^{(1)}=\dfrac{1}{10}(12-1,2-0)=\dfrac{10,8}{10}=1,08.
    • x_3^{(1)}=\dfrac{1}{10}(12-1,2-1,08)=\dfrac{9,72}{10}=0,972.
      Assim \mathbf{x}^{(1)}\approx(1,2,\,1,08,\,0,972)^T.
  • It.: k=1\to2:
    • x_1^{(2)}=\dfrac{1}{10}(12-1,08-0,972)=\dfrac{9,948}{10}=0,9948.
    • x_2^{(2)}=\dfrac{1}{10}(12-0,9948-0,972)=\dfrac{10,0332}{10}=1,00332.
    • x_3^{(2)}=\dfrac{1}{10}(12-0,9948-1,00332)=\dfrac{10,00188}{10}=1,000188.
      Assim \mathbf{x}^{(2)}\approx(0,9948,\,1,00332,\,1,000188)^T.
  • It.: k=2\to3:
    • x_1^{(3)}=\dfrac{1}{10}(12-1,00332-1,000188)=\dfrac{9,996492}{10}=0,9996492.
    • x_2^{(3)}=\dfrac{1}{10}(12-0,9996492-1,000188)=\dfrac{10,0001628}{10}=1,00001628.
    • x_3^{(3)}=\dfrac{1}{10}(12-0,9996492-1,00001628)=\dfrac{10,00033452}{10}=1,000033452.
      Já vemos que em 2–3 iterações o Gauss–Seidel aproxima muito bem (1,1,1)^T, mais rápido que Jacobi.

Passo 7

Conclusões finais e interpretação prática:
  • O critério das linhas foi satisfeito, então a convergência dos métodos iterativos está garantida.
  • O método de Gauss–Jacobi, a partir de \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0)^T, produz uma sequência que (por simetria) reduz-se à recorrência escalar s^{(k+1)}=1,2-0,2\,s^{(k)} e converge geometricamente para s=1. Em algumas iterações mostrou valores 1,2, 0,96, 1,008, 0,9984, 1,00032, …, aproximando (1,1,1)^T.
  • O método de Gauss–Seidel também converge e, numericamente, converge mais rápido (ex.: em 2–3 iterações já estamos com erro da ordem de 10^{-3} ou menos nas componentes com o palpite inicial nulo).
  • A solução exata do sistema é
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Resposta

i) Sim. A é estritamente diagonal dominante por linhas, pois 10>1+1=2 em cada linha.
ii) Gauss–Jacobi converge; solução \mathbf{x}=(1,1,1)^T.
iii) Gauss–Seidel converge (mais rápido); solução \mathbf{x}=(1,1,1)^T.

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