Num sistema com t=5 dígitos, efetue a operação \bar{x} / \bar{y} onde \bar{x}=0,12345 \times 10^{2} e \bar{y}=0,45678 \times 10^{1}, sabendo que \left|E R_{x}\right|<0,5 \times 10^{-4} e \left|E R_{y}\right|<0,5 \times 10^{-4}.
(a) Calcule o valor aproximado da divisão
(b) Estime o erro relativo do resultado usando E R_{x / y} \approx E R_{x}-E R_{y}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular o valor aproximado da divisão \bar{x}/\bar{y} em um sistema com t=5 dígitos, onde são dadas as aproximações \bar{x}=0,12345\times10^{2} e \bar{y}=0,45678\times10^{1}.
  • (b) Estimar o erro relativo do resultado usando a aproximação E R_{x/y}\approx E R_{x}-E R_{y}, sabendo que \left|E R_{x}\right|<0,5\times10^{-4} e \left|E R_{y}\right|<0,5\times10^{-4}.
Dados relevantes fornecidos:
  • Número de dígitos significativos: t=5.
  • Valores aproximados: \bar{x}=0,12345\times10^{2} e \bar{y}=0,45678\times10^{1}.
  • Cotas para os erros relativos das aproximações: \left|E R_{x}\right|<0,5\times10^{-4} e \left|E R_{y}\right|<0,5\times10^{-4}.

Passo 2

Entendendo o que significa t=5 e as cotas de erro relativo:
  • Em um sistema com t dígitos significativos, quando um número é arredondado para t dígitos, o erro relativo (em módulo) devido ao arredondamento satisfaz, para números normalizados, \left|E R\right|\le 0,5\times10^{\,1-t}.
  • Para t=5 temos 0,5\times10^{\,1-5}=0,5\times10^{-4}. Isso coincide com as cotas dadas para \left|E R_{x}\right| e \left|E R_{y}\right|. Ou seja: cada aproximação tem erro relativo (de arredondamento) menor que 0,5\times10^{-4}.
  • Nota prática: esse erro relativo é pequeno (da ordem de 10^{-4}), mas pode afetar o resultado da divisão; a propagação aproximada de erros relativos para divisão será tratada depois.

Passo 3

Converter as aproximações dadas para forma decimal simples (mais fácil de dividir):
  • Calculemos \bar{x}:
\bar{x}=0,12345\times10^{2}=12,345.
  • Calculemos \bar{y}:
\bar{y}=0,45678\times10^{1}=4,5678.
Assim, precisamos calcular a razão aproximada 12,345/4,5678.

Passo 4

Divisão passo a passo (divisão longa) para obter a expansão decimal de 12,345/4,5678:
  • Trabalhamos com numerador e denominador multiplicados por 10^{4} para evitar vírgulas: \dfrac{12,345}{4,5678}=\dfrac{123450}{45678}.
  • Fazendo a divisão inteira e decimal manualmente (mostro os passos principais):
    • 45678\times2=91356. Resto: 123450-91356=32094. Logo a parte inteira é 2.
    • Acrescentando casas decimais (trazendo zeros):
      • 320940/45678 7 (pois 45678\times7=319746). Resto 1194.
      • 11940/45678 0. Resto 11940.
      • 119400/45678 2 (pois 45678\times2=91356). Resto 28044.
      • 280440/45678 6 (pois 45678\times6=274068). Resto 6372.
      • 63720/45678 1. Resto 18042.
      • 180420/45678 3. Resto 43386.
      • 433860/45678 9. Resto 22758.
      • (podemos continuar, mas já temos dígitos suficientes)
  • Com isso obtemos a expansão decimal aproximada:
\frac{12,345}{4,5678}\approx 2,702613949\ldots

Passo 5

Normalização e arredondamento para t=5 dígitos significativos:
  • No enunciado os números foram apresentados no formato 0,\text{mantissa}\times10^{k} com a mantissa entre 0,1 e 1. Para seguir o mesmo formato, escrevemos
2,702613949\ldots = 0,2702613949\ldots\times10^{1}.
  • Queremos manter t=5 dígitos na mantissa: pegamos os cinco primeiros dígitos da mantissa e olhamos o sexto para arredondar.
    • Mantissa (inicial): 0,27026\;13949\ldots — os cinco primeiros dígitos são 2,7,0,2,6 (escrevendo como 0,27026).
    • O sexto dígito é 1 (menor que 5), então não arredondamos para cima.
  • Portanto o resultado aproximado (arredondado para t=5) é:
\bar{x}/\bar{y}=0,27026\times10^{1}.
(Em forma equivalente: 2,7026.)

Passo 6

Estimar o erro relativo do quociente usando E R_{x/y}\approx E R_{x}-E R_{y}:
  • Justificativa (breve): se z=x/y então \ln z=\ln x-\ln y. Para pequenas variações relativas \delta x/x e \delta y/y temos \delta z/z\approx\delta x/x-\delta y/y. Por isso os erros relativos se combinam por subtração aproximada.
  • Aplicando a aproximação pedida:
E R_{x/y}\approx E R_{x}-E R_{y}.
  • Como só temos cotas (módulos) para E R_{x} e E R_{y}, não conhecemos os sinais; portanto a melhor cota pessimista para o módulo de E R_{x/y} é a soma das cotas:
\left|E R_{x/y}\right|\le \left|E R_{x}\right|+\left|E R_{y}\right|<0,5\times10^{-4}+0,5\times10^{-4}=1,0\times10^{-4}.
  • Interpretação: o erro relativo do resultado é, em módulo, menor que 1,0\times10^{-4}, ou seja, da ordem de 10^{-4}. Em porcentagem isso é 0,01\%.
  • (Opcional para intuir a escala do erro absoluto) O erro absoluto máximo estimado seria aproximadamente
\left|\Delta\left(\frac{x}{y}\right)\right|\lesssim \left|E R_{x/y}\right|\cdot\left|\frac{x}{y}\right|\; \Rightarrow\; <1{,}0\times10^{-4}\times 2{,}7026\approx 2{,}7\times10^{-4}.

Resposta

(a) \bar{x}/\bar{y}=0,27026\times10^{1}
(b) \left|E R_{x/y}\right|<1{,}0\times10^{-4}

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