Num sistema com t=5 dígitos, efetue a operação \bar{x} / \bar{y} onde \bar{x}=0,12345 \times 10^{2} e \bar{y}=0,45678 \times 10^{1}, sabendo que \left|E R_{x}\right|<0,5 \times 10^{-4} e \left|E R_{y}\right|<0,5 \times 10^{-4}.
(a) Calcule o valor aproximado da divisão
(b) Estime o erro relativo do resultado usando E R_{x / y} \approx E R_{x}-E R_{y}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Calcular o valor aproximado da divisão \bar{x}/\bar{y} em um sistema com t=5 dígitos, onde são dadas as aproximações \bar{x}=0,12345\times10^{2} e \bar{y}=0,45678\times10^{1}.
(b) Estimar o erro relativo do resultado usando a aproximação E R_{x/y}\approx E R_{x}-E R_{y}, sabendo que \left|E R_{x}\right|<0,5\times10^{-4} e \left|E R_{y}\right|<0,5\times10^{-4}.
Dados relevantes fornecidos:
Número de dígitos significativos: t=5.
Valores aproximados: \bar{x}=0,12345\times10^{2} e \bar{y}=0,45678\times10^{1}.
Cotas para os erros relativos das aproximações: \left|E R_{x}\right|<0,5\times10^{-4} e \left|E R_{y}\right|<0,5\times10^{-4}.
Passo 2
Entendendo o que significa t=5 e as cotas de erro relativo:
Em um sistema com t dígitos significativos, quando um número é arredondado para t dígitos, o erro relativo (em módulo) devido ao arredondamento satisfaz, para números normalizados, \left|E R\right|\le 0,5\times10^{\,1-t}.
Para t=5 temos 0,5\times10^{\,1-5}=0,5\times10^{-4}. Isso coincide com as cotas dadas para \left|E R_{x}\right| e \left|E R_{y}\right|. Ou seja: cada aproximação tem erro relativo (de arredondamento) menor que 0,5\times10^{-4}.
Nota prática: esse erro relativo é pequeno (da ordem de 10^{-4}), mas pode afetar o resultado da divisão; a propagação aproximada de erros relativos para divisão será tratada depois.
Passo 3
Converter as aproximações dadas para forma decimal simples (mais fácil de dividir):
Calculemos \bar{x}:
\bar{x}=0,12345\times10^{2}=12,345.
Calculemos \bar{y}:
\bar{y}=0,45678\times10^{1}=4,5678.
Assim, precisamos calcular a razão aproximada 12,345/4,5678.
Passo 4
Divisão passo a passo (divisão longa) para obter a expansão decimal de 12,345/4,5678:
Trabalhamos com numerador e denominador multiplicados por 10^{4} para evitar vírgulas: \dfrac{12,345}{4,5678}=\dfrac{123450}{45678}.
Fazendo a divisão inteira e decimal manualmente (mostro os passos principais):
45678\times2=91356. Resto: 123450-91356=32094. Logo a parte inteira é 2.
Acrescentando casas decimais (trazendo zeros):
320940/45678 dá 7 (pois 45678\times7=319746). Resto 1194.
11940/45678 dá 0. Resto 11940.
119400/45678 dá 2 (pois 45678\times2=91356). Resto 28044.
280440/45678 dá 6 (pois 45678\times6=274068). Resto 6372.
63720/45678 dá 1. Resto 18042.
180420/45678 dá 3. Resto 43386.
433860/45678 dá 9. Resto 22758.
(podemos continuar, mas já temos dígitos suficientes)
Com isso obtemos a expansão decimal aproximada:
\frac{12,345}{4,5678}\approx 2,702613949\ldots
Passo 5
Normalização e arredondamento para t=5 dígitos significativos:
No enunciado os números foram apresentados no formato 0,\text{mantissa}\times10^{k} com a mantissa entre 0,1 e 1. Para seguir o mesmo formato, escrevemos
Queremos manter t=5 dígitos na mantissa: pegamos os cinco primeiros dígitos da mantissa e olhamos o sexto para arredondar.
Mantissa (inicial): 0,27026\;13949\ldots — os cinco primeiros dígitos são 2,7,0,2,6 (escrevendo como 0,27026).
O sexto dígito é 1 (menor que 5), então não arredondamos para cima.
Portanto o resultado aproximado (arredondado para t=5) é:
\bar{x}/\bar{y}=0,27026\times10^{1}.
(Em forma equivalente: 2,7026.)
Passo 6
Estimar o erro relativo do quociente usando E R_{x/y}\approx E R_{x}-E R_{y}:
Justificativa (breve): se z=x/y então \ln z=\ln x-\ln y. Para pequenas variações relativas \delta x/x e \delta y/y temos \delta z/z\approx\delta x/x-\delta y/y. Por isso os erros relativos se combinam por subtração aproximada.
Aplicando a aproximação pedida:
E R_{x/y}\approx E R_{x}-E R_{y}.
Como só temos cotas (módulos) para E R_{x} e E R_{y}, não conhecemos os sinais; portanto a melhor cota pessimista para o módulo de E R_{x/y} é a soma das cotas: