Considere a expressão u=(\bar{x}+\bar{y}) \times \bar{z}-\bar{t}, onde todos os valores estão representados \operatorname{com} t=4 dígitos.
(a) Escreva a expressão para \left|E R_{u}\right| em função dos erros relativos de cada operação
(b) Se \left|E R_{x}\right|=\left|E R_{y}\right|=\left|E R_{z}\right|=\left|E R_{t}\right|=0,5 \times 10^{-3}, estime um limitante superior para \left|E R_{u}\right|
Passo 1
O enunciado dá a expressão
u=(\bar{x}+\bar{y})\times\bar{z}-\bar{t},
onde cada quantidade representada com barra (por exemplo \bar{x}) é uma aproximação do valor exato e todos os números usam t=4 dígitos decimais significativos. O enunciado pede:
(a) Escrever uma expressão para \left|E R_{u}\right| em função dos erros relativos de cada operação (isto é, em função dos erros relativos das representações \mathrm{ER}_x,\mathrm{ER}_y,\mathrm{ER}_z,\mathrm{ER}_t e dos erros relativos introduzidos pelas operações aritméticas).
(b) Supondo \left|E R_{x}\right|=\left|E R_{y}\right|=\left|E R_{z}\right|=\left|E R_{t}\right|=0{,}5\times10^{-3}, estimar um limitante superior para \left|E R_{u}\right|.
As informações relevantes: cada variável representada obedece a um erro relativo de representação (por exemplo \bar{x}=x(1+\mathrm{ER}_x)) e cada operação aritmética (soma, multiplicação, subtração) também introduz um erro relativo de arredondamento que vamos chamar \mathrm{ER}_+ (para a soma), \mathrm{ER}_\times (para a multiplicação) e \mathrm{ER}_- (para a subtração). Para t=4 dígitos tem-se a unidade de arredondamento
\eta=0{,}5\times10^{1-t}=0{,}5\times10^{-3}.
Passo 2
Modelo de arredondamento (explicação didática curta): quando um número real x é armazenado com erro relativo, escrevemos
\bar{x}=x(1+\mathrm{ER}_x),
onde \mathrm{ER}_x é o erro relativo de representação e |\mathrm{ER}_x| é pequeno (no máximo \eta). Para uma operação aritmética qualquer a\mathop{\mathrm{op}} b realizada em ponto flutuante com arredondamento, usamos o modelo
onde \mathrm{ER}_{\mathop{\mathrm{op}}} é o erro relativo da operação e |\mathrm{ER}_{\mathop{\mathrm{op}}}|\le\eta. Esse é o modelo padrão de análise de erros (linha razoável a primeira ordem): cada quantidade e cada operação introduz um fator multiplicativo 1+ erro relativo pequeno.
Passo 3
Aplicando o modelo passo a passo ao cálculo de u. Definimos as representações e os erros:
As três operações tem erros relativos \mathrm{ER}_+ (soma \bar{x}+\bar{y}), \mathrm{ER}_\times (multiplicação pelo \bar{z}) e \mathrm{ER}_- (subtração do \bar{t}). Então o cálculo com arredondamento é
Explicação da expansão: multiplicações de termos de ordem \mathrm{ER}^2 foram desprezadas (modelo linearizado de propagação de erros), e cada contribuição surge de um fator multiplicativo 1+ erro em uma representação ou operação. A expressão dá a contribuição relativa de cada erro ao erro relativo final, ponderada pelas razões geométricas naturais (por exemplo (x+y)z/((x+y)z-t) aparece porque a soma e a multiplicação alteram o termo (x+y)z que está no numerador de u).
Passo 6
Passando para uma desigualdade (valor absoluto) e tornando explícitos os módulos, obtemos um limitante superior (a primeira ordem, descartando termos quadráticos):
Esta é a expressão pedida em (a): o erro relativo final é limitado pela soma do erro da subtração mais a contribuição (normalizada) das perturbações que afetam o termo (x+y)z e a contribuição do erro de \bar{t}.
Observação didática: cada termo dentro dos parênteses mostra de onde vem o erro:
|\mathrm{ER}_-| vem do arredondamento final da subtração;
a fração com |(x+y)z|/|u| escala os erros que afetaram o produto (x+y)z;
os termos \frac{|x|}{|x+y|}|\mathrm{ER}_x|+\frac{|y|}{|x+y|}|\mathrm{ER}_y| mostram que os erros de representação de x e y contribuem de forma ponderada pela fração de cada um em x+y.
e também cada erro de operação satisfaz |\mathrm{ER}_+|\le\eta,\;|\mathrm{ER}_\times|\le\eta,\;|\mathrm{ER}_-|\le\eta. Substituindo o mesmo \eta em cada termo da desigualdade do Passo 6 e agrupando, obtemos
onde reorganizamos os termos (os dois primeiros \eta dentro do parêntese correspondem a |\mathrm{ER}_+| e |\mathrm{ER}_\times|, depois vem |\mathrm{ER}_z| e o termo combinado das representações de x,y). Simplificando o fator comum \eta,
Este é um limitante superior estimado para |\mathrm{ER}_u| quando todos os erros relativos (representação e operações) valem \eta=0{,}5\times10^{-3}.
Observação prática e motivadora: se não houver cancelamento forte em x+y (isto é, se |x+y| for aproximadamente |x|+|y|), então \frac{|x|+|y|}{|x+y|}\approx1 e o parêntese fica aproximadamente 3+1=4. Nesse caso uma forma mais simples e conservadora do limitante é
Isso mostra como a razão entre os termos da expressão original controla a sensibilidade numérica: se (x+y)z e t são de magnitudes semelhantes, o denominador |(x+y)z-t| fica pequeno e o erro relativo final pode ser amplificado (atenção à subtração quase canceladora!).