Considere a expressão u=(\bar{x}+\bar{y}) \times \bar{z}-\bar{t}, onde todos os valores estão representados \operatorname{com} t=4 dígitos.
(a) Escreva a expressão para \left|E R_{u}\right| em função dos erros relativos de cada operação
(b) Se \left|E R_{x}\right|=\left|E R_{y}\right|=\left|E R_{z}\right|=\left|E R_{t}\right|=0,5 \times 10^{-3}, estime um limitante superior para \left|E R_{u}\right|

Passo 1

O enunciado dá a expressão
u=(\bar{x}+\bar{y})\times\bar{z}-\bar{t},
onde cada quantidade representada com barra (por exemplo \bar{x}) é uma aproximação do valor exato e todos os números usam t=4 dígitos decimais significativos. O enunciado pede:
(a) Escrever uma expressão para \left|E R_{u}\right| em função dos erros relativos de cada operação (isto é, em função dos erros relativos das representações \mathrm{ER}_x,\mathrm{ER}_y,\mathrm{ER}_z,\mathrm{ER}_t e dos erros relativos introduzidos pelas operações aritméticas).
(b) Supondo \left|E R_{x}\right|=\left|E R_{y}\right|=\left|E R_{z}\right|=\left|E R_{t}\right|=0{,}5\times10^{-3}, estimar um limitante superior para \left|E R_{u}\right|.
As informações relevantes: cada variável representada obedece a um erro relativo de representação (por exemplo \bar{x}=x(1+\mathrm{ER}_x)) e cada operação aritmética (soma, multiplicação, subtração) também introduz um erro relativo de arredondamento que vamos chamar \mathrm{ER}_+ (para a soma), \mathrm{ER}_\times (para a multiplicação) e \mathrm{ER}_- (para a subtração). Para t=4 dígitos tem-se a unidade de arredondamento
\eta=0{,}5\times10^{1-t}=0{,}5\times10^{-3}.

Passo 2

Modelo de arredondamento (explicação didática curta): quando um número real x é armazenado com erro relativo, escrevemos
\bar{x}=x(1+\mathrm{ER}_x),
onde \mathrm{ER}_x é o erro relativo de representação e |\mathrm{ER}_x| é pequeno (no máximo \eta). Para uma operação aritmética qualquer a\mathop{\mathrm{op}} b realizada em ponto flutuante com arredondamento, usamos o modelo
\operatorname{fl}(a\mathop{\mathrm{op}} b)=(a\mathop{\mathrm{op}} b)(1+\mathrm{ER}_{\mathop{\mathrm{op}}}),
onde \mathrm{ER}_{\mathop{\mathrm{op}}} é o erro relativo da operação e |\mathrm{ER}_{\mathop{\mathrm{op}}}|\le\eta. Esse é o modelo padrão de análise de erros (linha razoável a primeira ordem): cada quantidade e cada operação introduz um fator multiplicativo 1+ erro relativo pequeno.

Passo 3

Aplicando o modelo passo a passo ao cálculo de u. Definimos as representações e os erros:
\bar{x}=x(1+\mathrm{ER}_x),\quad \bar{y}=y(1+\mathrm{ER}_y),\quad \bar{z}=z(1+\mathrm{ER}_z),\quad \bar{t}=t(1+\mathrm{ER}_t).
As três operações tem erros relativos \mathrm{ER}_+ (soma \bar{x}+\bar{y}), \mathrm{ER}_\times (multiplicação pelo \bar{z}) e \mathrm{ER}_- (subtração do \bar{t}). Então o cálculo com arredondamento é
s_1=\operatorname{fl}(\bar{x}+\bar{y})=(\bar{x}+\bar{y})(1+\mathrm{ER}_+),
s_2=\operatorname{fl}(s_1\times\bar{z})=s_1\bar{z}(1+\mathrm{ER}_\times),
\tilde{u}=\operatorname{fl}(s_2-\bar{t})=(s_2-\bar{t})(1+\mathrm{ER}_-).
A quantidade verdadeira que queremos comparar é
u=(x+y)z-t.

Passo 4

Reescrevendo \tilde{u} em termos de x,y,z,t e dos erros:
primeiro, substituindo \bar{x},\bar{y},\bar{z}:
s_1=(x(1+\mathrm{ER}_x)+y(1+\mathrm{ER}_y))(1+\mathrm{ER}_+).
Em seguida
s_2=s_1\cdot z(1+\mathrm{ER}_z)(1+\mathrm{ER}_\times)=(x+y)z\cdot\Big[(1+\mathrm{ER}_+)(1+\mathrm{ER}_\times)(1+\mathrm{ER}_z)\Big]\Big(1+\frac{x\mathrm{ER}_x+y\mathrm{ER}_y}{x+y}\Big).
Para condensar a notação, escrevemos
s_2=(x+y)z(1+\beta),
onde
\beta=(1+\mathrm{ER}_+)(1+\mathrm{ER}_\times)(1+\mathrm{ER}_z)\Big(1+\frac{x\mathrm{ER}_x+y\mathrm{ER}_y}{x+y}\Big)-1.
Finalmente
\tilde{u}=(s_2-t(1+\mathrm{ER}_t))(1+\mathrm{ER}_-)=\big((x+y)z(1+\beta)-t(1+\mathrm{ER}_t)\big)(1+\mathrm{ER}_-).

Passo 5

Expressão do erro relativo de u. Defina o erro relativo final
\mathrm{ER}_u=\frac{\tilde{u}-u}{u}=\frac{\tilde{u}-((x+y)z-t)}{(x+y)z-t}.
Usando a forma anterior e expandindo (primeira ordem em erros pequenos), obtemos após manipulação algebraica
\mathrm{ER}_u \approx \mathrm{ER}_- + \frac{(x+y)z}{(x+y)z-t}\,\Big(\mathrm{ER}_+ + \mathrm{ER}_\times + \frac{x}{x+y}\mathrm{ER}_x + \frac{y}{x+y}\mathrm{ER}_y + \mathrm{ER}_z\Big) - \frac{t}{(x+y)z-t}\,\mathrm{ER}_t.
Explicação da expansão: multiplicações de termos de ordem \mathrm{ER}^2 foram desprezadas (modelo linearizado de propagação de erros), e cada contribuição surge de um fator multiplicativo 1+ erro em uma representação ou operação. A expressão dá a contribuição relativa de cada erro ao erro relativo final, ponderada pelas razões geométricas naturais (por exemplo (x+y)z/((x+y)z-t) aparece porque a soma e a multiplicação alteram o termo (x+y)z que está no numerador de u).

Passo 6

Passando para uma desigualdade (valor absoluto) e tornando explícitos os módulos, obtemos um limitante superior (a primeira ordem, descartando termos quadráticos):
\boxed{\;|\mathrm{ER}_u|\le |\mathrm{ER}_-|+\frac{|(x+y)z|}{\big| (x+y)z-t\big|}\Big(|\mathrm{ER}_+|+|\mathrm{ER}_\times|+ \frac{|x|}{|x+y|}|\mathrm{ER}_x|+\frac{|y|}{|x+y|}|\mathrm{ER}_y|+|\mathrm{ER}_z|\Big)+\frac{|t|}{\big| (x+y)z-t\big|}\,|\mathrm{ER}_t|\;}
Esta é a expressão pedida em (a): o erro relativo final é limitado pela soma do erro da subtração mais a contribuição (normalizada) das perturbações que afetam o termo (x+y)z e a contribuição do erro de \bar{t}.
Observação didática: cada termo dentro dos parênteses mostra de onde vem o erro:
  • |\mathrm{ER}_-| vem do arredondamento final da subtração;
  • a fração com |(x+y)z|/|u| escala os erros que afetaram o produto (x+y)z;
  • os termos \frac{|x|}{|x+y|}|\mathrm{ER}_x|+\frac{|y|}{|x+y|}|\mathrm{ER}_y| mostram que os erros de representação de x e y contribuem de forma ponderada pela fração de cada um em x+y.

Passo 7

Agora a parte (b): suponha
|\mathrm{ER}_x|=|\mathrm{ER}_y|=|\mathrm{ER}_z|=|\mathrm{ER}_t|=\eta=0{,}5\times10^{-3},
e também cada erro de operação satisfaz |\mathrm{ER}_+|\le\eta,\;|\mathrm{ER}_\times|\le\eta,\;|\mathrm{ER}_-|\le\eta. Substituindo o mesmo \eta em cada termo da desigualdade do Passo 6 e agrupando, obtemos
|\mathrm{ER}_u|\le \eta + \frac{|(x+y)z|}{\big|(x+y)z-t\big|}\Big(2\eta+\eta+\eta+\eta\frac{|x|+|y|}{|x+y|}\Big)+\frac{|t|}{\big|(x+y)z-t\big|}\eta,
onde reorganizamos os termos (os dois primeiros \eta dentro do parêntese correspondem a |\mathrm{ER}_+| e |\mathrm{ER}_\times|, depois vem |\mathrm{ER}_z| e o termo combinado das representações de x,y). Simplificando o fator comum \eta,
\boxed{\;|\mathrm{ER}_u|\le \eta\left[1+\frac{|(x+y)z|}{\big|(x+y)z-t\big|}\left(3+\frac{|x|+|y|}{|x+y|}\right)+\frac{|t|}{\big|(x+y)z-t\big|}\right]\;}
Este é um limitante superior estimado para |\mathrm{ER}_u| quando todos os erros relativos (representação e operações) valem \eta=0{,}5\times10^{-3}.
Observação prática e motivadora: se não houver cancelamento forte em x+y (isto é, se |x+y| for aproximadamente |x|+|y|), então \frac{|x|+|y|}{|x+y|}\approx1 e o parêntese fica aproximadamente 3+1=4. Nesse caso uma forma mais simples e conservadora do limitante é
|\mathrm{ER}_u|\lesssim \eta\left[1+4\frac{|(x+y)z|}{\big|(x+y)z-t\big|}+\frac{|t|}{\big|(x+y)z-t\big|}\right].
Isso mostra como a razão entre os termos da expressão original controla a sensibilidade numérica: se (x+y)z e t são de magnitudes semelhantes, o denominador |(x+y)z-t| fica pequeno e o erro relativo final pode ser amplificado (atenção à subtração quase canceladora!).

Resposta

(a) |\mathrm{ER}_u|\le |\mathrm{ER}_-|+\dfrac{|(x+y)z|}{\big|(x+y)z-t\big|}\Big(|\mathrm{ER}_+|+|\mathrm{ER}_\times|+ \dfrac{|x|}{|x+y|}|\mathrm{ER}_x|+\dfrac{|y|}{|x+y|}|\mathrm{ER}_y|+|\mathrm{ER}_z|\Big)+\dfrac{|t|}{\big|(x+y)z-t\big|}\,|\mathrm{ER}_t|
(b) Com \eta=0{,}5\times10^{-3},
|\mathrm{ER}_u|\le \eta\left[1+\dfrac{|(x+y)z|}{\big|(x+y)z-t\big|}\left(3+\dfrac{|x|+|y|}{|x+y|}\right)+\dfrac{|t|}{\big|(x+y)z-t\big|}\right].

Exercícios relacionados