Em cada caso verifique que a EDO é homogênea e em seguida resolva-a.
(x^2-y^2) d x+2 x y d y=0

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma equação diferencial que a gente precisa resolver: (x^2-y^2) dx + 2xy, dy = 0. O foco aqui é verificar se essa equação é homogênea e, se for, resolvê-la. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação homogênea e como aplicar substituições para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a EDO é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se os termos de M(x, y) e N(x, y) tiverem o mesmo grau de homogeneidade. No nosso caso:
  • M(x, y) = x^2 - y^2 tem grau 2.
  • N(x, y) = 2xy também tem grau 2.
    Como os graus são iguais, a equação é homogênea.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos usar uma substituição para facilitar a resolução. A gente pode usar v = yx, ou seja, y = v x. Essa substituição ajuda a transformar a equação em termos de uma única variável, facilitando a integração.

Passo 4

Com y = v x, precisamos derivar ambos os lados em relação a x:
dydx = v + x dvdx
Agora, substituímos y e dydx na equação original:
(x^2 - (v x)^2) + 2x (v x) (v + x dvdx) = 0
Simplificando:
x^2 - v^2 x^2 + 2v x^2 (v + x dvdx) = 0
Dividindo tudo por x^2 para simplificar:
1 - v^2 + 2v(v + x dvdx) = 0
Isso simplifica para:
1 - v^2 + 2v^2 + 2v x dvdx = 0
Ou seja:
1 + v^2 + 2v x dvdx = 0

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
2v x dvdx = - (1 + v^2)
Dividindo ambos os lados por v:
2x dvdx = - (1v + v)
Agora, isolamos dvdx:
dvdx = - 1 + v^22v x
Essa é uma equação separável, então podemos separar as variáveis v e x:
2v1 + v^2 dv = - dxx
Integrando ambos os lados:
integral 2v1 + v^2 dv = - integral dxx
A integral da esquerda é ln(1 + v^2) e a da direita é -ln|x| + C, onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à substituição v = yx, temos:
ln(1 + (yx)^2) = -ln|x| + C
Podemos simplificar isso exponenciando ambos os lados:
1 + y^2x^2 = Kx onde K = e^C
Multiplicando tudo por x^2:
x^2 + y^2 = K x
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação é x^2 + y^2 = K x, onde K é uma constante.

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