Em cada caso verifique que a EDO é homogênea e em seguida resolva-a.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma equação diferencial que a gente precisa resolver:
. O foco aqui é verificar se essa equação é homogênea e, se for, resolvê-la. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação homogênea e como aplicar substituições para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a EDO é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se os termos de
e
tiverem o mesmo grau de homogeneidade. No nosso caso:
-
tem grau 2. -
também tem grau 2.
Como os graus são iguais, a equação é homogênea.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos usar uma substituição para facilitar a resolução. A gente pode usar
, ou seja,
. Essa substituição ajuda a transformar a equação em termos de uma única variável, facilitando a integração.
Passo 4
Com
, precisamos derivar ambos os lados em relação a
:
Agora, substituímos
e
na equação original:
Simplificando:
Dividindo tudo por
para simplificar:
Isso simplifica para:
Ou seja:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, isolamos
:
Essa é uma equação separável, então podemos separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
A integral da esquerda é
e a da direita é
, onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à substituição
, temos:
Podemos simplificar isso exponenciando ambos os lados:
Multiplicando tudo por
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante.