Em cada caso verifique que a EDO é homogênea e em seguida resolva-a.
(x^3+2 x y^2) d x+(y^3+2 x^2 y) d y=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente verificar que a EDO
l(x^3+2xy^2r),dx ;+;l(y^3+2x^2yr),dy=0
é homogênea e então resolvê-la. Isso entra na parte de EDOs de primeira ordem homogêneas, onde a ideia é verificar que as funções que multiplicam dx e dy têm o mesmo grau em x e y, e depois usar a substituição clássica
y = v,x, dy = v,dx + x,dv
para separar variáveis e integrar.

Passo 2

Verificando homogeneidade. Seja
M(x,y)=x^3+2xy^2, N(x,y)=y^3+2x^2y
Substituindo (x,y)mapsto (t x, t y):
M(t x,t y)=(t x)^3+2,(t x)(t y)^2 = t^3x^3+2,t^3x y^2 = t^3M(x,y),
N(t x,t y)=(t y)^3+2,(t x)^2(t y) = t^3y^3+2,t^3x^2y = t^3N(x,y)
Ou seja, ambas são de grau 3, então a EDO é homogênea de grau 3.

Passo 3

Fazendo a substituição y=vx. A gente tem
dy = v,dx + x,dv,
e a EDO vira
M(x,y),dx + N(x,y),(v,dx + x,dv)=0 ;Longrightarrow; l[M(x,y)+v,N(x,y)r]dx ;+; N(x,y),x,dv =0

Passo 4

Expressa M e N em termos de v e x:
M = x^3(1+2v^2), N = x^3v(v^2+2)
Então
M+vN = x^3l(1+2v^2r) + x^3vl[v(v^2+2)r] = x^3l(1+4v^2+v^4r),
e a equação para v e x fica
x^3(1+4v^2+v^4),dx ;+; x^4v(v^2+2),dv =0 ;Longrightarrow; dvdx = -x^3(1+4v^2+v^4)x^4v(v^2+2) = -1+4v^2+v^4x,v(v^2+2)

Passo 5

Separa as variáveis:
v(v^2+2)1+4v^2+v^4,dv = -dxx
Repara que
ddvl(v^4+4v^2+1r) =4v^3+8v =4,v(v^2+2),
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v(v^2+2)1+4v^2+v^4 =14,dl(v^4+4v^2+1r)v^4+4v^2+1
Assim
integral v(v^2+2)1+4v^2+v^4,dv =14integral dl(v^4+4v^2+1r)v^4+4v^2+1 =14lnl|v^4+4v^2+1r|+C
E do outro lado
integral -dxx=-ln|x|+C.

Passo 6

Juntando:
14lnl|v^4+4v^2+1r| =-ln|x|+C1 Longrightarrow lnl|v^4+4v^2+1r| =-4ln|x|+C2
Exponenciando,
v^4+4v^2+1 = C,x^-4
Lembrando v=y/x,
y^4x^4 + 4,y^2x^2 +1 = C,x^-4 ;Longrightarrow; y^4+4x^2y^2+x^4=C

Resposta

A solução implícita geral da EDO é
boxedx^4 + 4,x^2y^2 + y^4 = C,
onde C é constante de integração.

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