O pêndulo dos relógios antigos de armário tem o período igual a dois (2) segundos, fazendo o barulho “tic” quando está em uma extremidade do movimento e “toc” na outra. Especifique como construir este pêndulo utilizando uma barra uniforme de massa não desprezível e de uma esfera muito pequena a ser presa na ponta da barra. Em outras palavras, escolha o comprimento da barra e as massas da barra e da
esfera de modo a produzir a frequência correta. Dica: diga que a esfera e a barra tem a mesma massa.

Passo 1

O enunciado pede projetar um pêndulo físico que tenha período T=2 s (frequência f=1/2 Hz) usando uma barra uniforme de massa não desprezível e, presa à sua extremidade, uma esfera muito pequena, de modo que a esfera e a barra tenham a mesma massa. Vamos usar o modelo de pêndulo físico:
  • calcular o momento de inércia total em relação ao ponto de suspensão,
  • determinar a posição do centro de massa do conjunto,
  • aplicar a fórmula do período
T = 2pi raizIM g h,
onde I é o momento de inércia total em relação ao pivô, M é a massa total, g a aceleração da gravidade e h a distância do pivô ao centro de massa.

Passo 2

Denotemos por m a massa da barra e por m também a massa da esfera. Seja L o comprimento da barra (e, portanto, a distância do pivô ao centro da esfera).
O momento de inércia da barra em relação a uma extremidade é
Ibarra = tfrac13mL^2,
e o da esfera (tratada como massa pontual a distância L) é
Iesfera = mL^2
Logo, o momento de inércia total é
I = Ibarra + Iesfera = tfrac13mL^2 + mL^2 = tfrac43mL^2

Passo 3

A massa total do sistema é
M = m + m = 2m
A posição do centro de massa (distância h do pivô) é
h = m,(L/2) + m,(L)2m = tfrac12mL + mL2m = tfrac32mL2m = tfrac34L

Passo 4

Substituindo I, M e h na fórmula do período, obtemos
T = 2pi raizIM g h = 2pi raiztfrac43mL^2(2m),g,(tfrac34L)
Simplificando dentro da raiz:
tfrac43mL^22m cdot g cdot tfrac34L = 4L^2/3(3/2),g,L = 4L(9/2)g = 8L9g
Portanto
T = 2pi raiz8L9g

Passo 5

Queremos T=2 s, então
2 = 2pi raiz8L9g Longrightarrow 1 = pi raiz8L9g Longrightarrow 8L9g = 1pi^2 Longrightarrow L = 9g8pi^2

Passo 6

Usando gapprox9,8 m/s ^2, temos
L approx 9cdot9,88pi^2 approx1,12 m
As massas podem ser quaisquer iguais, por exemplo mbarra=mesfera=0,5 kg, ou outro valor prático, desde que iguais.

Resposta

Barra de comprimento
L = 9g8pi^2approx1,12 m
com massa m, e esfera de massa igual à da barra ( m) presa na extremidade.

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