Encontre a solução geral das equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra achar a solução geral da equação diferencial
Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. O conteúdo que vamos usar é o método do fator integrante. Para resolver, precisamos:
- Identificar
e na forma . - Calcular o fator integrante
. - Multiplicar a equação por
, reconhecer o lado esquerdo como derivada do produto . - Integrar ambos os lados e isolar
.
Passo 2
Primeiro, escrevendo na forma padrão
temos
Aqui
.
Passo 3
Agora o fator integrante
é
Esse fator vai deixar o lado esquerdo numa forma “exata”.
Passo 4
Multiplicando a equação original por
, a gente obtém
Mas note que
então a equação vira
Passo 5
Agora integramos dos dois lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Para terminar, basta isolar
:
Resposta
que é a solução geral da equação dada.