Encontre a solução geral das equações diferenciais:
d yd t+3 t^2 y=e^-t^3+t

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra achar a solução geral da equação diferencial
dydt + 3,t^2,y = e^-t^3+t
Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. O conteúdo que vamos usar é o método do fator integrante. Para resolver, precisamos:
  1. Identificar p(t) e g(t) na forma y' + p(t),y = g(t).
  2. Calcular o fator integrante mu(t)=e^integral p(t),dt.
  3. Multiplicar a equação por mu(t), reconhecer o lado esquerdo como derivada do produto mu(t),y.
  4. Integrar ambos os lados e isolar y.

Passo 2

Primeiro, escrevendo na forma padrão
y' + p(t),y = g(t),
temos
p(t) = 3t^2, g(t) = e^-t^3 + t
Aqui y'=tfracdydt.

Passo 3

Agora o fator integrante mu(t) é
mu(t) = exp!l(integral p(t),dtr) = exp!l(integral 3t^2,dtr) = exp(t^3)
Esse fator vai deixar o lado esquerdo numa forma “exata”.

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu(t)=e^t^3, a gente obtém
e^t^3,y' + 3t^2,e^t^3,y = e^t^3,e^-t^3 + t
Mas note que
ddtl(e^t^3,yr) = e^t^3,y' + 3t^2,e^t^3,y,
então a equação vira
ddtl(e^t^3,yr) = e^t^3 - t^3 + t = e^t

Passo 5

Agora integramos dos dois lados em relação a t:
integral ddtl(e^t^3,yr),dt = integral e^t,dt ;;Longrightarrow;; e^t^3,y = e^t + C,
onde C é a constante de integração. Para terminar, basta isolar y:
y = e^-t^3,l(e^t + Cr) = e^-t^3 + t + C,e^-t^3

Resposta

boxedy(t) = e^-t^3 + t ;+; C,e^-t^3,
que é a solução geral da equação dada.

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