Determine se as afirmações abaixo, sobre uma função
, são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
Se
é contínua em
, então o limite de
em
existe e é finito.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
“Se é contínua em
, então
existe e é finito.”
O conteúdo envolvido é a definição de continuidade e de limite de função em um ponto.
“Se
O conteúdo envolvido é a definição de continuidade e de limite de função em um ponto.
Passo 2
Lembrando a definição de continuidade em
:
é contínua em
se, e somente se,
Essa igualdade só faz sentido se o limite
existir (no sentido usual, um número real).
Passo 3
Da igualdade acima segue que o limite não só existe, como é igual a
. Como
é um número real finito (pois
toma valores em
), concluímos que esse limite é finito.
Resposta
A afirmação é verdadeira, pois a continuidade em
exige exatamente que
exista e seja igual a
, um valor real finito.