Determine se as afirmações abaixo, sobre uma função f: D subset R R, são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
Se f é contínua em x0, então o limite de f em x0 existe e é finito.

Passo 1

O enunciado pergunta se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
“Se fcolon DsubsetRtoR é contínua em x0, então limxto x0f(x) existe e é finito.”
O conteúdo envolvido é a definição de continuidade e de limite de função em um ponto.

Passo 2

Lembrando a definição de continuidade em x0:
f é contínua em x0 se, e somente se,
limxto x0f(x) ;=; f(x0)
Essa igualdade só faz sentido se o limite limxto x0f(x) existir (no sentido usual, um número real).

Passo 3

Da igualdade acima segue que o limite não só existe, como é igual a f(x0). Como f(x0) é um número real finito (pois f toma valores em R), concluímos que esse limite é finito.

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois a continuidade em x0 exige exatamente que limxto x0f(x) exista e seja igual a f(x0), um valor real finito.

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