Sejam f(x, y)=llx^3x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0), 0, & (x, y)=(0,0), e u=(1,1)
a) Calcule partial fpartial u(0,0), usando a definição.
b) Calcule nabla f(0,0) cdot u|u|.
c) Justifique por que os valores encontrados em a) e b) são diferentes.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e o vetor de direção u=(1,1).
a) Pede a derivada direcional de f em (0,0) na direção de u pela definição
partial fpartial u(0,0) =limhto0f(0+hu)-f(0,0)h
b) Pede a quantidade nabla f(0,0)cdotu|u|. Para isso precisamos obter as derivadas parciais em (0,0) e formar o gradiente.
c) Explicar por que esses valores são diferentes, lembrando que a igualdade entre derivada direcional e produto escalar com o gradiente só vale se f for diferenciável em (0,0).

Passo 2

Calcular
partial fpartial u(0,0) =limhto0f(h,h)-0h
Para hneq0 temos
f(h,h)=h^3h^2+h^2 =h^32h^2 =h2
Logo
f(h,h)h =tfrach2h =12 Longrightarrow partial fpartial u(0,0)=12

Passo 3

Calcular as derivadas parciais em (0,0):
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0tfrach^3h^2+0h =limhto0hh =1,
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-0h =limhto00h =0
Então nabla f(0,0)=(1,0). Como |u|=raiz1^2+1^2=raiz2,
nabla f(0,0)cdotu|u| =(1,0)cdot(1,1)raiz2 =1raiz2

Passo 4

A razão pela qual
partial fpartial u(0,0)=tfrac12 neq nabla f(0,0)cdotu|u|=tfrac1raiz2
é que a fórmula
D vf( 0) =nabla f(0)cdot v
só vale quando f é diferenciável em 0. Aqui, embora as derivadas parciais existam, f não é diferenciável em (0,0), então a derivada direcional não coincide com o produto escalar com o gradiente.

Resposta

a) 12.
b) 1raiz2.
c) São diferentes porque f não é diferenciável em (0,0), e a relação entre derivada direcional e gradiente só vale sob diferenciabilidade.

Exercícios relacionados