Dado o conjunto
, verifique se
é relação de equivalência em
:
e
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e a relação
e pergunta se
é relação de equivalência em
. Para isso, precisamos verificar as três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Verificação da reflexividade. Uma relação é reflexiva se, para todo
, tivermos
.
Em estão
,
,
e
. Como todo elemento de
aparece emparelhado consigo mesmo,
é reflexiva.
Em
Passo 3
Verificação da simetria. Uma relação é simétrica se sempre que
então
.
Em temos
e o seu inverso
, bem como
e o seu inverso
. Os demais pares são do tipo
, que são naturalmente simétricos. Logo,
é simétrica.
Em
Passo 4
Verificação da transitividade. Uma relação é transitiva se, sempre que
e
, então
.
Observando , vemos que ele agrupa
em dois “blocos” disjuntos
e
, e dentro de cada bloco todos os pares necessários estão presentes. Por exemplo, em
temos
,
,
e
, de modo que qualquer composição
fica assegurada em
. O mesmo vale para
. Portanto,
é transitiva.
Observando
Resposta
Sim,
é relação de equivalência em
.
As classes de equivalência são e
.
As classes de equivalência são