Em cada caso, verifique se
é um homomorfismo.
e
traço de
.
Para o item g), o traço de uma matriz quadrada qualquer é definido como a soma dos elementos de sua diagonal principal.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Dominío:
, ou seja, todas as matrizes com entradas reais, com operação de adição de matrizes. - Contradomínio:
, os reais com adição. - Aplicação:
definida por , o traço de . - Pergunta: verificar se
é um homomorfismo (ou seja, se preserva a operação de grupo).
Passo 2
Definição prática que vamos usar (sem complicar): para grupos com operação
, dizer que
é homomorfismo significa exatamente que, para quaisquer
,
Se isso vale para todos
, então
é homomorfismo. (Como consequências, então
e
; mostrarei isso depois.)
Passo 3
Lembrando o que é traço para matrizes
: se
então
isto é, soma dos elementos da diagonal principal.]
Passo 4
Pegue duas matrizes quaisquer
. Escrevemos suas entradas arbitrariamente:
com
.
A soma é a matriz obtida somando entrada a entrada:
A soma
Agora calculamos o traço de
:
Reagrupando termos (associatividade e comutatividade da soma em
):
Mas
e
. Portanto
Isto é exatamente a propriedade exigida para homomorfismo.]
Passo 5
Conclusão imediata: para quaisquer
vale
. Logo
é um homomorfismo de grupos de
para
.
Passo 6
Algumas observações úteis para a prova (corolários fáceis, bons para lembrar):
- Identidade: seja
a matriz nula. Então
portanto
(preserva identidade).
- Inverso: para qualquer
,
- Imagem (útil saber):
é sobrejetora porque para qualquer a matriz tem traço . - Núcleo (útil se pedirem):
, ou seja, todas as matrizes com traço zero.]
Resposta
Sim.
é um homomorfismo de
em
.