Em cada caso, verifique se f: G \longrightarrow J é um homomorfismo.
G=\left(M_{2 \times 2}(R),+\right), J=(R,+) e f(x)=\operatorname{tr}(x)= traço de x.
Para o item g), o traço de uma matriz quadrada qualquer é definido como a soma dos elementos de sua diagonal principal.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dominío: G=\big(M_{2\times2}(\mathbb{R}),+\big), ou seja, todas as matrizes 2\times2 com entradas reais, com operação de adição de matrizes.
  • Contradomínio: J=(\mathbb{R},+), os reais com adição.
  • Aplicação: f definida por f(x)=\operatorname{tr}(x), o traço de x.
  • Pergunta: verificar se f é um homomorfismo (ou seja, se preserva a operação de grupo).

Passo 2

Definição prática que vamos usar (sem complicar): para grupos com operação +, dizer que f:G\to J é homomorfismo significa exatamente que, para quaisquer A,B\in G,
f(A+B)=f(A)+f(B).
Se isso vale para todos A,B, então f é homomorfismo. (Como consequências, então f(0)=0 e f(-A)=-f(A); mostrarei isso depois.)

Passo 3

Lembrando o que é traço para matrizes 2\times2: se
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então
\operatorname{tr}(A)=a+d,
isto é, soma dos elementos da diagonal principal.]

Passo 4

Pegue duas matrizes quaisquer A,B\in M_{2\times2}(\mathbb{R}). Escrevemos suas entradas arbitrariamente:
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}e & f\\[4pt] g & h\end{pmatrix},
com a,b,c,d,e,f,g,h\in\mathbb{R}.
A soma A+B é a matriz obtida somando entrada a entrada:
A+B=\begin{pmatrix}a+e & b+f\\[4pt] c+g & d+h\end{pmatrix}.
Agora calculamos o traço de A+B:
\operatorname{tr}(A+B)=(a+e)+(d+h).
Reagrupando termos (associatividade e comutatividade da soma em \mathbb{R}):
\operatorname{tr}(A+B)=(a+d)+(e+h).
Mas (a+d)=\operatorname{tr}(A) e (e+h)=\operatorname{tr}(B). Portanto
\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B).
Isto é exatamente a propriedade exigida para homomorfismo.]

Passo 5

Conclusão imediata: para quaisquer A,B\in G vale \operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B). Logo f é um homomorfismo de grupos de \big(M_{2\times2}(\mathbb{R}),+\big) para (\mathbb{R},+).

Passo 6

Algumas observações úteis para a prova (corolários fáceis, bons para lembrar):
  • Identidade: seja 0 a matriz nula. Então
\operatorname{tr}(0)=0,
portanto f(0)=0 (preserva identidade).
  • Inverso: para qualquer A,
\operatorname{tr}(-A)=-\operatorname{tr}(A).
  • Imagem (útil saber): f é sobrejetora porque para qualquer r\in\mathbb{R} a matriz \begin{pmatrix}r & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} tem traço r.
  • Núcleo (útil se pedirem): \ker(f)=\{A\in M_{2\times2}(\mathbb{R})\mid \operatorname{tr}(A)=0\}, ou seja, todas as matrizes com traço zero.]

Resposta

Sim. f é um homomorfismo de \big(M_{2\times2}(\mathbb{R}),+\big) em (\mathbb{R},+).

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