Calcule as integrais indefinidas abaixo.
\int x e^{2 x} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x e^{2x}\,dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, que usamos quando temos o produto de duas funções (aqui uma algébrica x e uma exponencial e^{2x}).

Passo 2

Escolhemos
u = x \quad\text{e}\quad dv = e^{2x}\,dx.
Então
du = dx \quad\text{e}\quad v = \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
obtém-se
\int x e^{2x}\,dx = x\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{2}\int e^{2x}\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral restante:
\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}.
Substituindo de volta, fica
\int x e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} + C = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C.

Resposta

\frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C

Exercícios relacionados