Sejam u e v funções deriváveis de x e n constante.
y=u^v Rightarrow y^prime=v u^v-1 u^prime+u^v(ln u) v^prime.

Passo 1

O enunciado pede para obter a derivada de
y = u(x)^v(x)
onde u e v são funções diferenciáveis de x.
Para isso vamos usar as regras de derivação: regra da cadeia, derivada de logaritmo natural e regra do produto.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a potência:
ln y = lnl(u^vr) = v,ln u

Passo 3

Derivamos implicitamente em relação a x. À esquerda, usando regra da cadeia; à direita, usando regra do produto:
1y,y' = v',ln u + v,u'u

Passo 4

Isolamos y' multiplicando ambos os lados por y:
y' = yl(v',ln u + v,u'ur)

Passo 5

Voltando a y = u^v e distribuindo,
y' = u^v,v',ln u + u^v,v,u'u = u^v,(ln u),v' + v,u^v-1,u'

Resposta

y' = v,u^,v-1,u' ;+; u^,v,(ln u),v'

Exercícios relacionados