Em cada caso, verifique se f: G longrightarrow J é um homomorfismo.
G=(Z,+), J=(Z,+) e f(x)=8 x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
fcolon Gto J
com G=(Z,+), J=(Z,+) e
f(x)=8x
é um homomorfismo de grupos. Vamos usar a definição de homomorfismo em grupos abelianos.

Passo 2

Lembrando que uma função f entre grupos aditivos é homomorfismo se, e somente se, para todo x,yinZ, vale
f(x+y)=f(x)+f(y)

Passo 3

Calculamos o lado esquerdo:
f(x+y)=8,(x+y)=8x+8y
Por outro lado, o lado direito é
f(x)+f(y)=8x+8y
Como os dois resultados coincidem, a propriedade de homomorfismo se verifica para quaisquer x,y.

Passo 4

Concluímos que f(x)=8x satisfaz
f(x+y)=f(x)+f(y)
para todo x,yinZ, logo f é um homomorfismo de grupos.

Resposta

A aplicação f(x)=8x é um homomorfismo de (Z,+) em (Z,+).

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