Seja
um grupo multiplicativo. Prove que
é um subgrupo comutativo de
.
Passo 1
Temos um grupo multiplicativo
e uma aplicação involutória
que satisfaz para todo
:
Definimos
e queremos mostrar que
é subgrupo de
e ainda que todo par de seus elementos comuta.
Passo 2
Fechamento e comutatividade. Seja
. Então
e
. Calculemos
Para que
pertença a
é preciso
; portanto
mostrando simultaneamente que
.
(fechamento),
.
(comutatividade).
Passo 3
Identidade e inversos.
. A identidade
satisfaz
, logo
.
. Se
então
, daí
logo
.
Com isso concluímos que
contém a identidade, é fechado sob produto e inverso, e seus elementos comutam entre si.