Seja G um grupo multiplicativo. Prove que S=x in G mid x=x^prime é um subgrupo comutativo de G.

Passo 1

Temos um grupo multiplicativo G e uma aplicação involutória ^prime que satisfaz para todo x,yin G:
(xy)^prime=y^prime x^prime e (x^prime)^prime=x
Definimos
S=,xin Gmid x=x^prime
e queremos mostrar que S é subgrupo de G e ainda que todo par de seus elementos comuta.

Passo 2

Fechamento e comutatividade. Seja x,yin S. Então x'=x e y'=y. Calculemos
(xy)' ;=; y',x' ;=; y,x
Para que xy pertença a S é preciso (xy)'=xy; portanto
xy ;=; (xy)' ;=; yx,
mostrando simultaneamente que
1. xyin S (fechamento),
2. xy=yx (comutatividade).

Passo 3

Identidade e inversos.
1. A identidade ein G satisfaz e'=(e'e)'=e, logo ein S.
2. Se xin S então x'=x, daí
(x^-1)' ;=;(x')^-1 ;=;x^-1,
logo x^-1in S.
Com isso concluímos que S contém a identidade, é fechado sob produto e inverso, e seus elementos comutam entre si.

Resposta

S é de fato um subgrupo abeliano (comutativo) de G.

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