Em cada caso, verifique se f: G longrightarrow J é um homomorfismo.
G=(R, cdot), J=(R, cdot) e f(x)=-2|x|.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
fcolon G to J, G=(R,cdot),;J=(R,cdot),;f(x)=-2lvert xrvert
é homomorfismo de (mono)grupos multiplicativos. Para isso precisamos conferir duas coisas em geral:
  1. Se para todo x,yin G vale f(xy)=f(x),f(y)
  2. Se a identidade de G (que é 1) é enviada na identidade de J (que também é 1), ou seja f(1)=1

Passo 2

Calcular f(xy). Pelo enunciado,
f(xy) = -2llvert xyrrvert = -2llvert xrrvert;llvert yrrvert

Passo 3

Calcular o produto f(x),f(y). Temos
f(x),f(y) = l(-2lvert xrvertr),l(-2lvert yrvertr) = 4,lvert xrvert,lvert yrvert

Passo 4

Comparando os dois resultados:
f(xy) = -2,lvert xrvert,lvert yrvert e f(x),f(y) = 4,lvert xrvert,lvert yrvert
Claramente não coincidem para todos x,y (por exemplo, em geral -2neq4). Logo não vale a propriedade de homomorfismo.
Além disso, conferindo a identidade, temos
f(1) = -2lvert1rvert = -2 neq 1,
então nem sequer preserva identidade.

Resposta

f não é homomorfismo de (mono)grupos.

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