Em cada caso, verifique se f: G longrightarrow J é um homomorfismo.
G=(R,+), J=(R times R,+) e f(x)=(-x, 6 x).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
fcolon Gto J, G=(R,+),;J=(RtimesR,+)
definida por
f(x)=(-x,,6x)
é um homomorfismo de grupos aditivos.

Passo 2

Por definição, f é homomorfismo se, para todo x,yinR, tivermos
f(x+y)=f(x)+f(y)
Vamos conferir essa propriedade diretamente.

Passo 3

Calculemos primeiro f(x+y):
f(x+y)=l(-(x+y),,6(x+y)r)=(-x-y,,6x+6y)
Em seguida, calculemos f(x)+f(y) usando a soma em R^2:
f(x)+f(y)=(-x,,6x)+(-y,,6y)=(-x-y,,6x+6y)
Como ambos os lados coincidem, concluímos que f(x+y)=f(x)+f(y).

Resposta

f é um homomorfismo de grupos aditivos.

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