Calcule o volume da região delimitada pelas curvas y=ln (x), y=0 e x=2 em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve cálculo de volumes por rotação. O problema pede para calcular o volume da região delimitada pelas curvas y = ln(x) , y = 0 e x = 2 quando essa região é girada em torno do eixo x . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos rotacionando. A curva y = ln(x) é a função logarítmica natural, que só está definida para x > 0 . A reta y = 0 é o eixo x , e x = 2 é uma linha vertical. Portanto, a área que vamos girar está entre x = 1 (onde ln(1) = 0 ) e x = 2 .

Passo 3

Para usar o método dos discos, precisamos encontrar a área de um disco infinitesimal perpendicular ao eixo x . A fórmula geral para o volume usando esse método é:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx
Aqui, f(x) é a função que descreve a borda da região, que no nosso caso é ln(x) , e a e b são os limites de integração, que são 1 e 2 respectivamente.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
V = pi integral1^2 [ln(x)]^2 , dx
Agora, precisamos calcular essa integral. A integral de [ln(x)]^2 não é direta, então usamos integração por partes.

Passo 5

A integração por partes é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = [ln(x)]^2 Rightarrow du = 2ln(x)x , dx
  • dv = dx Rightarrow v = x
Aplicando a fórmula:
integral [ln(x)]^2 , dx = x[ln(x)]^2 - integral x cdot 2ln(x)x , dx = x[ln(x)]^2 - 2 integral ln(x) , dx

Passo 6

Agora, precisamos integrar ln(x) :
integral ln(x) , dx = xln(x) - x + C
Substituindo de volta:
integral [ln(x)]^2 , dx = x[ln(x)]^2 - 2(xln(x) - x) = x[ln(x)]^2 - 2xln(x) + 2x

Passo 7

Voltando ao cálculo do volume:
V = pi [ x[ln(x)]^2 - 2xln(x) + 2x ]1^2
Vamos avaliar essa expressão nos limites de 1 a 2 :
Para x = 2 :
2[ln(2)]^2 - 2 cdot 2 ln(2) + 2 cdot 2 = 2[ln(2)]^2 - 4ln(2) + 4
Para x = 1 :
1[ln(1)]^2 - 2 cdot 1 ln(1) + 2 cdot 1 = 0 - 0 + 2 = 2

Passo 8

Subtraindo os valores:
V = pi ( [2[ln(2)]^2 - 4ln(2) + 4] - 2 ) = pi (2[ln(2)]^2 - 4ln(2) + 2)
Podemos fatorar o 2:
V = 2pi ( [ln(2)]^2 - 2ln(2) + 1 )
Perceba que [ln(2)]^2 - 2ln(2) + 1 = (ln(2) - 1)^2 , então:
V = 2pi (ln(2) - 1)^2

Resposta

O volume da região é V = 2pi (ln(2) - 1)^2 unidades cúbicas.

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