Calcule o volume da região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve cálculo de volumes por rotação. O problema pede para calcular o volume da região delimitada pelas curvas
,
e
quando essa região é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos rotacionando. A curva
é a função logarítmica natural, que só está definida para
. A reta
é o eixo
, e
é uma linha vertical. Portanto, a área que vamos girar está entre
(onde
) e
.
Passo 3
Para usar o método dos discos, precisamos encontrar a área de um disco infinitesimal perpendicular ao eixo
. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
Aqui,
é a função que descreve a borda da região, que no nosso caso é
, e
e
são os limites de integração, que são
e
respectivamente.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Agora, precisamos calcular essa integral. A integral de
não é direta, então usamos integração por partes.
Passo 5
A integração por partes é dada por:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Agora, precisamos integrar
:
Substituindo de volta:
Passo 7
Voltando ao cálculo do volume:
Vamos avaliar essa expressão nos limites de
a
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Podemos fatorar o 2:
Perceba que
, então:
Resposta
O volume da região é
unidades cúbicas.