Em cada caso, verifique se
é um homomorfismo.
e
traço de
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
, em que
e
é um homomorfismo de grupos (sob adição). Vamos usar a definição de homomorfismo em grupos abelianos, que exige que
é um homomorfismo de grupos (sob adição). Vamos usar a definição de homomorfismo em grupos abelianos, que exige que
para todos
.
Passo 2
Lembrando que o traço de uma soma de matrizes satisfaz a propriedade de linearidade, isto é, para quaisquer
, temos
Essa é justamente a condição necessária para um homomorfismo de grupos aditivos.
Passo 3
Aplicando essa propriedade ao nosso
, para quaisquer
obtemos
Isso mostra que
respeita a operação de adição.
Passo 4
Como
vale para todos
, concluímos que
é um homomorfismo de grupos abelianos entre
e
.
Resposta
Sim,
é homomorfismo de grupos aditivos.