Em cada caso, verifique se f: G longrightarrow J é um homomorfismo.
G=(M2 times 2 R,+), J=(R,+) e f(x)=tr(x)= traço de x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
fcolon Gto J, em que
G = l(M2times 2(R),+r), J = (R,+)
e
,f(X)=tr(X)
é um homomorfismo de grupos (sob adição). Vamos usar a definição de homomorfismo em grupos abelianos, que exige que
f(A + B) = f(A) + f(B)
para todos A,Bin G.

Passo 2

Lembrando que o traço de uma soma de matrizes satisfaz a propriedade de linearidade, isto é, para quaisquer
,A,Bin M2times 2(R), temos
tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
Essa é justamente a condição necessária para um homomorfismo de grupos aditivos.

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao nosso f, para quaisquer A,Bin G obtemos
f(A+B) = tr(A+B) = tr(A) + tr(B) = f(A) + f(B)
Isso mostra que f respeita a operação de adição.

Passo 4

Como f(A+B)=f(A)+f(B) vale para todos A,B, concluímos que f é um homomorfismo de grupos abelianos entre l(M2times 2(R),+r) e (R,+).

Resposta

Sim, f(x)=tr(x) é homomorfismo de grupos aditivos.

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