Mostre que
, definida por
, é um homomorfismo do grupo aditivo
em si próprio. Determine seu núcleo e dê alguns exemplos de elementos de
.
Passo 1
O enunciado define
por
por
O conteúdo aqui é teoria de homomorfismo de grupos abelianos (adição em
) e determinação do núcleo (kernel).
Passo 2
Para mostrar que
é homomorfismo, basta verificar que
Por outro lado,
Como os dois resultados coincidem,
preserva a soma e é homomorfismo de grupos.
Passo 3
O núcleo de
é
Temos
Logo
Passo 4
Alguns exemplos de elementos em
são
,
,
,
etc., pois todos satisfazem
.
Resposta
Exemplos em