Mostre que f: Z times Z longrightarrow Z times Z, definida por f(x, y)=(0,7 x-y), é um homomorfismo do grupo aditivo Z times Z em si próprio. Determine seu núcleo e dê alguns exemplos de elementos de N(f).

Passo 1

O enunciado define
fcolon Ztimes Zlongrightarrow Ztimes Z
por
f(x,y) = l(0,;7x - yr)
O conteúdo aqui é teoria de homomorfismo de grupos abelianos (adição em ZtimesZ) e determinação do núcleo (kernel).

Passo 2

Para mostrar que f é homomorfismo, basta verificar que
fl((x,y)+(x',y')r) = f(x+x',,y+y') = l(0,;7(x+x')-(y+y')r) = l(0,;7x - y + 7x' - y'r)
Por outro lado,
f(x,y) + f(x',y') = l(0,;7x - yr) + l(0,;7x' - y'r) = l(0,;(7x - y)+(7x' - y')r)
Como os dois resultados coincidem, f preserva a soma e é homomorfismo de grupos.

Passo 3

O núcleo de f é
ker(f) = l(x,y)inZtimesZmid f(x,y)=(0,0)r
Temos
f(x,y)=(0,7x-y)=(0,0) Long<=ftrightarrow 7x - y = 0 Long<=ftrightarrow y = 7x
Logo
ker(f) = l(x,,7x)mid xinZr

Passo 4

Alguns exemplos de elementos em ker(f) são
(0,0), (1,7), (2,14), (-1,-7) etc., pois todos satisfazem y=7x.

Resposta

ker(f)=(x,7x)mid xinZ.
Exemplos em ker(f): (0,0), (1,7), (2,14), (-1,-7), ···

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