Sejam G=2^m 5^n mid m, n in Z e J=m+n i mid m, n in Z.
Mostre que (G, cdot) é subgrupo de (R, cdot).

Passo 1

O enunciado define
G = 2^m5^nmid m,ninZ
e pede para mostrar que (G,cdot) é subgrupo de (R,cdot). Vamos usar o critério de subgrupo para grupos multiplicativos:
  1. verificar que a identidade de R^times está em G,
  2. mostrar que G é fechado sob cdot,
  3. mostrar que todo elemento de G tem inverso em G.

Passo 2

Identidade: no grupo multiplicativo de R (ou seja, Rsetminus0) a identidade é 1. Como
1 = 2^0,5^0,
e 0inZ, concluímos que 1in G.

Passo 3

Fechamento: sejam
a = 2^m5^n, b = 2^m'5^n', m,n,m',n'inZ
Então
acdot b = 2^m5^ncdot 2^m'5^n' = 2^m+m'5^n+n',
onde m+m'inZ e n+n'inZ. Logo acdot bin G.

Passo 4

Inversos: para a=2^m5^nin G, seu inverso multiplicativo é
a^-1 = 12^m5^n = 2^-m5^-n
Como -m,-ninZ, segue que a^-1in G.

Passo 5

Como G contém a identidade, é fechado sob o produto e contém o inverso de cada elemento, pelo critério de subgrupo temos que (G,cdot) é subgrupo de (R,cdot).

Resposta

(G,cdot) é subgrupo de (R,cdot).

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