Sejam
e
.
Mostre que
é subgrupo de
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que
é subgrupo de
. Vamos usar o critério de subgrupo para grupos multiplicativos:
- verificar que a identidade de
está em , - mostrar que
é fechado sob , - mostrar que todo elemento de
tem inverso em .
Passo 2
Identidade: no grupo multiplicativo de
(ou seja,
) a identidade é
. Como
e
, concluímos que
.
Passo 3
Fechamento: sejam
Então
onde
e
. Logo
.
Passo 4
Inversos: para
, seu inverso multiplicativo é
Como
, segue que
.
Passo 5
Como
contém a identidade, é fechado sob o produto e contém o inverso de cada elemento, pelo critério de subgrupo temos que
é subgrupo de
.