Em cada caso, verifique se a seqüência lim n infty an é monótona crescente (ou decrescente) e se é limitada superiormente (ou inferiormente). an=nn^2+1 converge? Em caso afirmativo, calcule .

Passo 1

Primeiro, recapitulemos: temos a sequência an = nn^2+1. O objetivo é verificar monotonicidade (crescente ou decrescente), estudar se há cotas superior e inferior, e determinar se converge, calculando limntoinfty an. Vamos precisar usar o teste de monotonicidade por diferença de termos e análise do comportamento para grandes n.

Passo 2

Para checar se é crescente ou decrescente, analisamos o sinal de an+1 - an. Calculamos:
an+1 - an = n+1(n+1)^2 +1 - nn^2+1 = (n+1)(n^2+1) - n((n+1)^2+1)(n^2+1)((n+1)^2+1)

Passo 3

Expandindo o numerador:
(n+1)(n^2+1) - n((n+1)^2+1) = n^3 + n^2 + n +1 - (n^3 + 2n^2 + 2n) = - (n^2 + n - 1)
Como n^2 + n - 1 > 0 para todo n>=1, o numerador é negativo. O denominador é sempre positivo, logo an+1-an<0. Assim, a sequência é estritamente decrescente.

Passo 4

Para as cotas, note que an>0 para todo n, ou seja, 0 é uma cota inferior. E por ser decrescente, o maior valor está em a1 = 12, que é uma cota superior. Logo, a sequência é limitada superiormente por tfrac12 e inferiormente por 0.

Passo 5

Pelo teorema da convergência de sequências monotônicas, como (an) é decrescente e limitada inferiormente, ela converge. Para calcular o limite, observamos:
limntoinfty an = limntoinfty nn^2+1 = limntoinfty 1n + 1n = 0

Resposta

A sequência é monótona decrescente, limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1/2, e converge com limite 0.

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