Em cada caso, verifique se a seqüência
é monótona crescente (ou decrescente) e se é limitada superiormente (ou inferiormente).
converge? Em caso afirmativo, calcule
.
Passo 1
Primeiro, recapitulemos: temos a sequência
. O objetivo é verificar monotonicidade (crescente ou decrescente), estudar se há cotas superior e inferior, e determinar se converge, calculando
. Vamos precisar usar o teste de monotonicidade por diferença de termos e análise do comportamento para grandes
.
Passo 2
Para checar se é crescente ou decrescente, analisamos o sinal de
. Calculamos:
Passo 3
Expandindo o numerador:
Como
para todo
, o numerador é negativo. O denominador é sempre positivo, logo
. Assim, a sequência é estritamente decrescente.
Passo 4
Para as cotas, note que
para todo
, ou seja, 0 é uma cota inferior. E por ser decrescente, o maior valor está em
, que é uma cota superior. Logo, a sequência é limitada superiormente por
e inferiormente por 0.
Passo 5
Pelo teorema da convergência de sequências monotônicas, como
é decrescente e limitada inferiormente, ela converge. Para calcular o limite, observamos:
Resposta
A sequência é monótona decrescente, limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1/2, e converge com limite 0.