Em cada caso, verifique se a seqüência
é monótona crescente (ou decrescente) e se é limitada superiormente (ou inferiormente).
converge? Em caso afirmativo, calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a sequência
: verificar monotonicidade, limites superior e inferior, e determinar se ela converge e, em caso afirmativo, achar
. Vamos precisar dos conceitos de sequência monótona, sequência limitada e definição de limite de sequência.
Passo 2
Para estudar a monotonicidade, separamos em subsequências ímpar e par. Para
(ímpar) temos
Como
decresce quando
aumenta,
cresce e, portanto,
cresce com
. Para
(par) temos
Aqui
decresce com
, logo
decresce. Como as subsequências ímpar e par têm comportamentos opostos (uma cresce, outra decresce) a sequência completa não é nem crescente nem decrescente.
Passo 3
Para a limitação basta observar os primeiros termos:
é o mínimo e
é o máximo; os demais termos ficam entre esses valores. Logo existe limite inferior
e limite superior
.
Passo 4
Para ver se converge, note que
quando
. Assim
Portanto, apesar de oscilar,
converge pelo critério de que o termo extra vai a zero; o limite é
.
Resposta
A sequência não é nem crescente nem decrescente; é limitada inferiormente por 2 e superiormente por 3,5; e converge, com
.