Em cada caso, verifique se a seqüência lim n infty an é monótona crescente (ou decrescente) e se é limitada superiormente (ou inferiormente). an=3+(-1)^nn converge? Em caso afirmativo, calcule .

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência an = 3 + (-1)^nn: verificar monotonicidade, limites superior e inferior, e determinar se ela converge e, em caso afirmativo, achar limn to infty an. Vamos precisar dos conceitos de sequência monótona, sequência limitada e definição de limite de sequência.

Passo 2

Para estudar a monotonicidade, separamos em subsequências ímpar e par. Para n=2k-1 (ímpar) temos
a2k-1 = 3 - 12k-1
Como 12k-1 decresce quando k aumenta, -12k-1 cresce e, portanto, a2k-1 cresce com k. Para n=2k (par) temos
a2k = 3 + 12k
Aqui 12k decresce com k, logo a2k decresce. Como as subsequências ímpar e par têm comportamentos opostos (uma cresce, outra decresce) a sequência completa não é nem crescente nem decrescente.

Passo 3

Para a limitação basta observar os primeiros termos: a1=3-1=2 é o mínimo e a2=3+tfrac12=3,5 é o máximo; os demais termos ficam entre esses valores. Logo existe limite inferior 2 e limite superior 3,5.

Passo 4

Para ver se converge, note que (-1)^nnto0 quando ntoinfty. Assim
limntoinftyan = 3 + 0 = 3
Portanto, apesar de oscilar, an converge pelo critério de que o termo extra vai a zero; o limite é 3.

Resposta

A sequência não é nem crescente nem decrescente; é limitada inferiormente por 2 e superiormente por 3,5; e converge, com limntoinftyan = 3.

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