QuestĂŁo 39:
Seja
a)
ĂŠ um campo conservativo em
? porque?
b) Se
ĂŠ o segmento de reta que liga
, calcule
. resp:
a) sim
b) 41
a)
b) Se
a) sim
b) 41
Passo 1
A questão dá o campo vetorial
e pede (a) verificar se é conservativo em
e (b) usar isso para calcular
no segmento de
a
. Vamos usar conceito de rotor e potencial.
Passo 2
Para (a), lembro que um campo é conservativo se e só se o rotor for zero num domínio simplesmente conexo. Aqui calculamos:
Fazendo as derivadas obtemos zero em todas as componentes, logo
Passo 3
Para (b), como
é conservativo, existe potencial
tal que
. Integramos:
Em seguida impomos
Isso dá
e
. Logo
Passo 4
O valor da integral é
. Calculando:
Portanto
.
Resposta
a) Sim, pois
em
. b)
.