QuestĂŁo 39: Seja F
a) Re^3 ĂŠ um campo conservativo em C ? porque?
b) Se (0,0,0) a(2,1,3) ĂŠ o segmento de reta que liga integralC F d r, calcule . resp:
a) sim
b) 41

Passo 1

A questão dá o campo vetorial F(x,y,z)=(8x^3+z^2,,-3z,,2xz-3y) e pede (a) verificar se é conservativo em R^3 e (b) usar isso para calcular integralCFcdot dvec r no segmento de (0,0,0) a (2,1,3). Vamos usar conceito de rotor e potencial.

Passo 2

Para (a), lembro que um campo é conservativo se e só se o rotor for zero num domínio simplesmente conexo. Aqui calculamos:
nablatimesF = l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,;partial Ppartial z-partial Rpartial x,;partial Qpartial x-partial Ppartial yr)
Fazendo as derivadas obtemos zero em todas as componentes, logo nablatimesF=vec0 e o campo é conservativo em R^3.

Passo 3

Para (b), como F é conservativo, existe potencial phi(x,y,z) tal que nablaphi=F. Integramos:
phix=8x^3+z^2implies phi=2x^4+xz^2+g(y,z)
Em seguida impomos
phiy=gy=-3z,phiz=2xz-3y+gz=2xz-3y
Isso dá g(y,z)=-3yz+h(z) e h'(z)=0. Logo
phi(x,y,z)=2x^4+xz^2-3yz + C

Passo 4

O valor da integral é phi(2,1,3)-phi(0,0,0). Calculando:
phi(2,1,3)=2cdot2^4+2cdot3^2-3cdot1cdot3=32+18-9=41,
phi(0,0,0)=0
Portanto integralCFcdot dvec r=41.

Resposta

a) Sim, pois nablatimesF=0 em R^3. b) 41.

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