Considere a seqüência
. Mostre que a seqüência é crescente e limitada superiormente. Conclua que
converge e calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência definida por
O conteúdo envolve análise de monotonicidade, limite superior, série geométrica e limite de sequência. Vamos usar: definição de sequência crescente, de sequência limitada e soma de série geométrica.
Passo 2
Para mostrar que
é crescente, note que o expoente
a cada termo aumenta quando somamos mais um termo positivo na série geométrica. Se definirmos
a cada termo aumenta quando somamos mais um termo positivo na série geométrica. Se definirmos
então
. Como a função
é estritamente crescente, segue que
logo a sequência é crescente.
Passo 3
Para ver que
é limitada acima, calculamos a soma parcial da série geométrica:
Assim
portanto
não ultrapassa 3 e é limitada superiormente.
Passo 4
Pelo Teorema da Convergência de sequências monotônicas, toda sequência crescente e limitada acima converge. O limite do expoente
é
Como a potência é contínua,