Considere a seqüência a1=1, a2=3^12, a3=3^12+14, cdots, an=3^12+14+cdots+12^n-1, cdots. Mostre que a seqüência é crescente e limitada superiormente. Conclua que lim n infty an converge e calcule .

Passo 1

O enunciado dá a sequência definida por
a1 = 1, an = 3^12 + 14 + cdots + 12^n-1(n>=2)
O conteúdo envolve análise de monotonicidade, limite superior, série geométrica e limite de sequência. Vamos usar: definição de sequência crescente, de sequência limitada e soma de série geométrica.

Passo 2

Para mostrar que (an) é crescente, note que o expoente
a cada termo aumenta quando somamos mais um termo positivo na série geométrica. Se definirmos
Sn = 12 + 14 + cdots + 12^n-1,
então Sn+1 = Sn + 12^n > Sn. Como a função xmapsto 3^x é estritamente crescente, segue que
an+1 = 3^Sn+1 > 3^Sn = an,
logo a sequência é crescente.

Passo 3

Para ver que (an) é limitada acima, calculamos a soma parcial da série geométrica:
Sn = sumk=1^n-1 12^k = 1 - 12^n-1 < 1
Assim
an = 3^Sn < 3^1 = 3,
portanto an não ultrapassa 3 e é limitada superiormente.

Passo 4

Pelo Teorema da Convergência de sequências monotônicas, toda sequência crescente e limitada acima converge. O limite do expoente Sn é
limntoinfty Sn = sumk=1^infty 12^k = 1
Como a potência é contínua,
limntoinfty an = limntoinfty 3^Sn = 3^limntoinfty Sn = 3^1 = 3

Resposta

limntoinftyan=3

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