Em cada caso, verifique se a seqüência
é monótona crescente (ou decrescente) e se é limitada superiormente (ou inferiormente).
converge? Em caso afirmativo, calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a sequência
: verificar monotonicidade, limitaridade e convergência, calculando o limite se existir. Vamos usar cálculo de derivada para monotonicidade, desigualdades simples para limites e operações de limite para obter
.
Passo 2
Para checar monotonicidade, consideramos a função contínua
definida para
. Calculamos a derivada:
Passo 3
Observamos que
sempre que
, isto é para todo
. Como
, temos
e portanto
. Logo
em
, o que implica que
é estritamente decrescente.
Passo 4
Para a limitaridade, notamos que
para todo
, logo é limitada inferiormente por 0. Como é decrescente, o maior valor ocorre em
, ou seja
, logo é limitada superiormente por
.
Passo 5
Para a convergência, calculamos o limite de
quando
. Usando que
, segue
Resposta
A sequência é monótona decrescente, limitada superiormente por
e inferiormente por 0. Ela converge e
.