Em cada caso, verifique se a seqüência lim n infty an é monótona crescente (ou decrescente) e se é limitada superiormente (ou inferiormente). an=ln (n+2)n+2 converge? Em caso afirmativo, calcule .

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência an=ln(n+2)n+2: verificar monotonicidade, limitaridade e convergência, calculando o limite se existir. Vamos usar cálculo de derivada para monotonicidade, desigualdades simples para limites e operações de limite para obter limntoinftyan.

Passo 2

Para checar monotonicidade, consideramos a função contínua f(x)=ln(x+2)x+2 definida para x>=1. Calculamos a derivada:
f'(x)=1-ln(x+2)(x+2)^2

Passo 3

Observamos que ln(x+2)>1 sempre que x+2>e, isto é para todo x>e-2approx0,72. Como x>=1, temos ln(x+2)>1 e portanto 1-ln(x+2)<0. Logo f'(x)<0 em [1,infty), o que implica que an=f(n) é estritamente decrescente.

Passo 4

Para a limitaridade, notamos que an>0 para todo n, logo é limitada inferiormente por 0. Como é decrescente, o maior valor ocorre em n=1, ou seja a1=ln33, logo é limitada superiormente por ln33.

Passo 5

Para a convergência, calculamos o limite de an quando ntoinfty. Usando que limxtoinftyln xx=0, segue
limntoinftyan=limntoinftyln(n+2)n+2=0

Resposta

A sequência é monótona decrescente, limitada superiormente por ln33 e inferiormente por 0. Ela converge e limntoinftyan=0.

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