Em cada caso, verifique se a seqüência lim n infty an é monótona crescente (ou decrescente) e se é limitada superiormente (ou inferiormente). an=raiznn+2 converge? Em caso afirmativo, calcule .

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a sequência an = dfracraiznn+2: verificar monotonicidade, limites superior e inferior, e se converge, calculando seu limite.

Passo 2

Para testar monotonicidade, estendemos an a uma função contínua f(x)=dfracraizxx+2, x>0. Calculamos a derivada usando quociente:
f'(x)=tfrac12raizx(x+2)-raizx(x+2)^2 = 2-x2raizx,(x+2)^2

Passo 3

O sinal de f'(x) diz como an varia: para x<2 temos f'(x)>0, em x=2 f'(2)=0 e para x>2 f'(x)<0. Assim an cresce de n=1 a n=2 e depois decresce para todo n>=3. Logo não é crescente em N, mas é decrescente a partir de n=2.

Passo 4

Como an>0 para todo n, ela é limitada inferiormente por 0. O valor máximo ocorre em n=2, onde a2=tfracraiz24, de modo que an é limitada superiormente por tfracraiz24.

Passo 5

Para o limite quando ntoinfty, dividimos numerador e denominador por raizn:
raiznn+2=1raizn+2/raiznxrightarrow[ntoinfty]0
Portanto an converge e $\lim_{n\to\infty}a_n=0.

Resposta

A sequência não é crescente em N, mas torna-se decrescente a partir de n=2. É limitada inferiormente por 0 e superiormente por tfracraiz24. Converge com limntoinftyan=0.

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