Em cada caso, verifique se a seqüência é monótona crescente (ou decrescente) e se é limitada superiormente (ou inferiormente). converge? Em caso afirmativo, calcule .
Passo 1
O enunciado pede para estudarmos a sequência : verificar monotonicidade, limites superior e inferior, e se converge, calculando seu limite.
Passo 2
Para testar monotonicidade, estendemos a uma função contínua . Calculamos a derivada usando quociente:
Passo 3
O sinal de diz como varia: para temos , em e para . Assim cresce de a e depois decresce para todo . Logo não é crescente em , mas é decrescente a partir de .
Passo 4
Como para todo , ela é limitada inferiormente por 0. O valor máximo ocorre em , onde , de modo que é limitada superiormente por .
Passo 5
Para o limite quando , dividimos numerador e denominador por :
Portanto an converge e $\lim_{n\to\infty}a_n=0.
Resposta
A sequência não é crescente em N, mas torna-se decrescente a partir de n=2. É limitada inferiormente por 0 e superiormente por tfracraiz24. Converge com limntoinftyan=0.