Em cada um dos casos abaixo, considere o produto interno usual em V e determine se os vetores dados são ortogonais ou não.
V=R^2, u=(cos t, sin t), v=(-sin t, cos t), t in R.

Passo 1

O enunciado pede para testar se, em V=R^2 com o produto interno usual, os vetores
u=(cos t,;sin t), v=(-sin t,;cos t)
são ortogonais. Vamos usar a definição de ortogonalidade: dois vetores são ortogonais se seu produto interno (ou “ponto”) for zero.

Passo 2

Relembrando, o produto interno usual em R^2 é dado por
lang<= u,vrang<= = u1v1 + u2v2,
onde u=(u1,u2) e v=(v1,v2).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso em questão, temos
lang<= u,vrang<= = (cos t)cdot(-sin t) ;+; (sin t)cdot(cos t) = -cos t,sin t + sin t,cos t

Passo 4

Note que
-cos t,sin t + sin t,cos t = 0
Como o produto interno é identicamente zero para todo t, concluímos que u e v são ortogonais em qualquer t.

Resposta

Os vetores são ortogonais para todo t.

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