Seja V=P1([0,1], R) subespaço das funções polinômiais de grau menor ou igual a 1 , definidas em [0,1]), com o produto interno usual das funções contínuas.
Dados f(t)=1+t e g(t)=1-t, se existir, determine alpha in R tal que (g-alpha f)(t) perp f(t).

Passo 1

O espaço V=P1([0,1],R) vem com o produto interno usual
lang<= u,vrang<= = integral0^1 u(t),v(t),dt
Queremos achar alphainR tal que o polinômio
h(t)=g(t)-alpha,f(t)
seja ortogonal a f(t), i.e.,
lang<= h,frang<= = 0

Passo 2

Usando lang<= h,frang<= = lang<= g-alpha f,,frang<= = lang<= g,frang<= - alpha,lang<= f,frang<=, precisamos de
lang<= f,frang<= = integral0^1 (1+t)^2,dt
Expandindo e integrando:
(1+t)^2 = 1 + 2t + t^2,
lang<= f,frang<= = integral0^1 (1 + 2t + t^2),dt = l[t + t^2 + tfract^33r]0^1 = 1 + 1 + tfrac13 = tfrac73

Passo 3

Agora calculamos
lang<= g,frang<= = integral0^1 (1 - t)(1 + t),dt = integral0^1 (1 - t^2),dt = l[t - tfract^33r]0^1 = 1 - tfrac13 = tfrac23

Passo 4

Para ter lang<= g - alpha f,,frang<= = 0 basta resolver
lang<= g,frang<= - alpha,lang<= f,frang<= = 0 Longrightarrow alpha = lang<= g,frang<=lang<= f,frang<= = tfrac23tfrac73 = 27

Resposta

alpha = 27

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