Seja
um espaço vetorial real com produto interno. Para quaisquer vetores
, prove que:
Mostre que no caso complexo isto nem sempre é verdadeiro.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial real
com produto interno
, os vetores
são ortogonais para quaisquer
. Vamos usar as propriedades de simetria e bilinearidade do produto interno, além da relação
.
Passo 2
Calculemos o produto interno entre os dois vetores:
Usando a bilinearidade em cada argumento, expandimos:
Passo 3
Agora extraímos as constantes dos produtos internos e usamos
e
:
Os termos
aparecem com sinais opostos e cancelam-se. Resta
Passo 4
Como o espaço é real, o produto interno é simétrico:
. Logo
Isso mostra que os vetores dados são ortogonais no caso real.
Passo 5
No caso complexo, a simetria vira conjugação:
. Para ver que não dá sempre zero, basta um contraexemplo em
V=C com
Passo 6
Aqui
|u|=1 e
|v|=1 . Então
Fazendo a multiplicação:
Portanto, em espaços complexos isso nem sempre é verdadeiro.
Resposta
Em
R a ortogonalidade vale porque
lang<= v,urang<==lang<= u,vrang<= . Em
C , por exemplo com
u=1 ,
v=i , o produto interno entre os vetores
|u|vpm|v|u é
2ineq0 , logo não são ortogonais.