Seja V um espaço vetorial real com produto interno. Para quaisquer vetores u, v in V, prove que:
|u| v+|v| u e |u| v-|v| u , são ortogonais ã
Mostre que no caso complexo isto nem sempre é verdadeiro.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial real V com produto interno lang<=cdot,cdotrang<=, os vetores
|u|,v + |v|,u e |u|,v - |v|,u
são ortogonais para quaisquer u,vin V. Vamos usar as propriedades de simetria e bilinearidade do produto interno, além da relação |w|^2=lang<= w,wrang<=.

Passo 2

Calculemos o produto interno entre os dois vetores:
llang<= |u|,v + |v|,u,;|u|,v - |v|,u rrang<=
Usando a bilinearidade em cada argumento, expandimos:
&;lang<= |u|v,|u|vrang<= - lang<= |u|v,|v|urang<= + lang<= |v|u,|u|vrang<= - lang<= |v|u,|v|urang<=

Passo 3

Agora extraímos as constantes dos produtos internos e usamos lang<= v,vrang<==|v|^2 e lang<= u,urang<==|u|^2:
&;|u|^2lang<= v,vrang<= - |u||v|lang<= v,urang<= + |v||u|lang<= u,vrang<= - |v|^2lang<= u,urang<= &= |u|^2|v|^2 - |u||v|lang<= v,urang<= + |u||v|lang<= u,vrang<= - |v|^2|u|^2
Os termos |u|^2|v|^2 aparecem com sinais opostos e cancelam-se. Resta
- |u||v|lang<= v,urang<= + |u||v|lang<= u,vrang<=

Passo 4

Como o espaço é real, o produto interno é simétrico: lang<= v,urang<==lang<= u,vrang<=. Logo
- |u||v|lang<= v,urang<= + |u||v|lang<= u,vrang<= = -|u||v|lang<= u,vrang<= + |u||v|lang<= u,vrang<= =0
Isso mostra que os vetores dados são ortogonais no caso real.

Passo 5

No caso complexo, a simetria vira conjugação: lang<= v,urang<= = lang<= u,vrang<=. Para ver que não dá sempre zero, basta um contraexemplo em V=C com
lang<= x,yrang<= = x,y, u=1, v=i

Passo 6

Aqui |u|=1 e |v|=1. Então
llang<= |u|v + |v|u,;|u|v - |v|u rrang<= = lang<= i+1,;i-1rang<= = i+1,(i-1) = ( -,i + 1 ),(i-1)
Fazendo a multiplicação:
(-i+1)(i-1) = -icdot i + i + 1cdot i -1 = -(-1) + i + i -1 = 1 + 2i -1 = 2i neq 0
Portanto, em espaços complexos isso nem sempre é verdadeiro.

Resposta

Em R a ortogonalidade vale porque lang<= v,urang<==lang<= u,vrang<=. Em C, por exemplo com u=1, v=i, o produto interno entre os vetores |u|vpm|v|u é 2ineq0, logo não são ortogonais.

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