Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear dado por sua matriz na base canônica é diagonalizável. Em caso positivo, calcule uma base de autovetores e sua forma diagonal.
а) .
b) A=(cc-4 & -1 4 & 0).
c) A=(cc1 & 3 1 & -1).
d) A=(ll4 & 1 6 & 3).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se cada operador linear T:R^2toR^2 dado pela matriz na base canônica
AinR^2times2
é diagonalizável sobre R. Para isso vamos, em cada caso, 1. Calcular o polinômio característico det(A-lambda I). 2. Achar as raízes (autovalores) e suas multiplicidades algébrica e geométrica. 3. Concluir se há diagonalização real. Em caso positivo, determinar uma base de autovetores e a forma diagonal diag(lambda1,lambda2).
O discriminante é De<a=(-3)^2-4cdot1cdot5=9-20=-11<0, logo não há autovalores reais. Portanto não existe base real de autovetores e A não é diagonalizável sobre R.
com raízes lambda1=6 e lambda2=1, distintas. Logo é diagonalizável.
Para lambda=6,
A-6I=-2 & 1 6 & -3,
a equação -2x+y=0 dá o autovetor (1,2).
Para lambda=1,
A-I=3 & 1 6 & 2,
a equação 3x+y=0 dá o autovetor (1,-3).
Uma base de autovetores é (1,2),(1,-3) e a forma diagonal é
diag(6,1)
Resposta
(a) não diagonalizável
(b) não diagonalizável
(c) diagonalizável com base de autovetores (3,1),(1,-1) e forma diagonal diag(2,-2)
(d) diagonalizável com base de autovetores (1,2),(1,-3) e forma diagonal diag(6,1)