Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear T: R^2 R^2 dado por sua matriz na base canônica A=(T) can é diagonalizável. Em caso positivo, calcule uma base de autovetores e sua forma diagonal.
а) A=(cc2 & 3 -1 & 1).
b) A=(cc-4 & -1 4 & 0).
c) A=(cc1 & 3 1 & -1).
d) A=(ll4 & 1 6 & 3).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se cada operador linear T:R^2toR^2 dado pela matriz na base canônica
AinR^2times2
é diagonalizável sobre R. Para isso vamos, em cada caso,
1. Calcular o polinômio característico det(A-lambda I).
2. Achar as raízes (autovalores) e suas multiplicidades algébrica e geométrica.
3. Concluir se há diagonalização real. Em caso positivo, determinar uma base de autovetores e a forma diagonal diag(lambda1,lambda2).

Passo 2

Caso (a):
A=2 & 3 -1 & 1
O polinômio característico é
p(lambda)=detl(A-lambda Ir)=(2-lambda)(1-lambda)+3=lambda^2-3lambda+5
O discriminante é De<a=(-3)^2-4cdot1cdot5=9-20=-11<0, logo não há autovalores reais. Portanto não existe base real de autovetores e A não é diagonalizável sobre R.

Passo 3

Caso (b):
A=-4 & -1 4 & 0
Calculamos
p(lambda)=det(A-lambda I)=(-4-lambda)(-lambda)-(-1)cdot4 =lambda^2+4lambda+4=(lambda+2)^2
Então o único autovalor é lambda=-2 com multiplicidade algébrica 2. Para a multiplicidade geométrica, resolvemos
(A+2I)v=0, A+2I=-2 & -1 4 & 2
A equação -2x-y=0 y=-2x, espaço próprio unidimensional. Como a multiplicidade geométrica é 1 < 2, A não é diagonalizável.

Passo 4

Caso (c):
A=1 & 3 1 & -1
O polinômio característico é
p(lambda)=(1-lambda)(-1-lambda)-3=lambda^2-4=0,
cuja solução é lambda1=2 e lambda2=-2, distintos. Logo há diagonalização real.
Para lambda=2,
A-2I=-1 & 3 1 & -3,
a equação -x+3y=0 dá o autovetor (3,1).
Para lambda=-2,
A+2I=3 & 3 1 & 1,
a equação 3x+3y=0 dá o autovetor (1,-1).
Uma base de autovetores é (3,1),(1,-1) e a forma diagonal é
diag(2,-2)

Passo 5

Caso (d):
A=4 & 1 6 & 3
O polinômio característico é
p(lambda)=(4-lambda)(3-lambda)-6=lambda^2-7lambda+6=0,
com raízes lambda1=6 e lambda2=1, distintas. Logo é diagonalizável.
Para lambda=6,
A-6I=-2 & 1 6 & -3,
a equação -2x+y=0 dá o autovetor (1,2).
Para lambda=1,
A-I=3 & 1 6 & 2,
a equação 3x+y=0 dá o autovetor (1,-3).
Uma base de autovetores é (1,2),(1,-3) e a forma diagonal é
diag(6,1)

Resposta

(a) não diagonalizável
(b) não diagonalizável
(c) diagonalizável com base de autovetores (3,1),(1,-1) e forma diagonal diag(2,-2)
(d) diagonalizável com base de autovetores (1,2),(1,-3) e forma diagonal diag(6,1)

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