Sendo T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(2 x-y, 3 x+4 y encontre A in R^2 times 2 tal que T(v)=A v, isto é, calcule a matriz de T com relação a base canônica.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (2x - y,;3x + 4y),
e pede a matriz A in R^2times2 na base canônica tal que T(vec v)=Avec v. Para isso, vamos usar o fato de que, na base canônica, as colunas de A são T aplicadas aos vetores vec e1=(1,0) e vec e2=(0,1).

Passo 2

Calculemos primeiro
T(vec e1)=T(1,0)
Substituindo x=1 e y=0 em T(x,y), obtemos
T(1,0) = (2cdot1 - 0,;3cdot1 + 4cdot0) = (2,3)

Passo 3

Agora calculemos
T(vec e2)=T(0,1)
Substituindo x=0 e y=1 em T(x,y), obtemos
T(0,1) = (2cdot0 - 1,;3cdot0 + 4cdot1) = (-1,4)

Passo 4

Formamos a matriz A colocando T(vec e1) como primeira coluna e T(vec e2) como segunda coluna. Assim,
A = 2 & -1 3 & 4

Resposta

A = 2 & -1 3 & 4

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