Seja uma matriz tal que a 3 a coluna é dada pela soma da 1a coluna com a 2 a coluna. Faça o que se pede:
a) Explique porque não é invertível.
b) Encontre uma solução não trivial de .
c) Explique porque não temos um terceiro pivô quando fizermos escalonamento.
Passo 1
O enunciado diz que é uma matriz cujas colunas satisfazem
O conteúdo aqui é dependência linear de colunas, determinante e posto da matriz, além de encontrar uma solução não trivial do sistema homogêneo .
Passo 2
Para (a), lembramos que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, suas colunas são linearmente independentes (equivalente a ). Mas como a terceira coluna é combinação linear das duas primeiras, temos dependência linear e, portanto,
Passo 3
Para (b), buscamos tal que
Usando , isso vira
Basta escolher e . Por exemplo, tomando , e , obtemos
que é não trivial e satisfaz A,X=0.
Passo 4
Para (c), ao escalonar A em forma de linha reduzida por pivôs, o fato de a terceira coluna ser soma das duas primeiras faz com que, depois de eliminar abaixo dos dois primeiros pivôs, toda a terceira linha fique nula (ou seja, não sobra nenhum elemento não nulo para um terceiro pivô). Isso reflete que o posto de A é 2, não 3, e portanto só existem dois pivôs.
Resposta
a) Porque as colunas são linearmente dependentes (terceira coluna é soma das duas primeiras), logo det(A)=0 e A não é invertível.
b) Um exemplo de solução não trivial é
X = 11-1,
pois A,X = 0.
c) No escalonamento surge apenas posto 2, pois a terceira coluna é redundante e gera uma linha nula, impedindo o terceiro pivô.