Seja A uma matriz 3 times 3 tal que a 3 a coluna é dada pela soma da 1a coluna com a 2 a coluna. Faça o que se pede:
a) Explique porque A não é invertível.
b) Encontre uma solução não trivial de A cdot X=0.
c) Explique porque não temos um terceiro pivô quando fizermos escalonamento.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz 3times3 cujas colunas satisfazem
Coluna3 = Coluna1 + Coluna2
O conteúdo aqui é dependência linear de colunas, determinante e posto da matriz, além de encontrar uma solução não trivial do sistema homogêneo A X=0.

Passo 2

Para (a), lembramos que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, suas colunas são linearmente independentes (equivalente a det(A)neq0). Mas como a terceira coluna é combinação linear das duas primeiras, temos dependência linear e, portanto,
det(A)=0 Longrightarrow A não é invertível ãéí

Passo 3

Para (b), buscamos X=(x1,x2,x3)^Tneq0 tal que
A,X = x1,C1 + x2,C2 + x3,C3 = 0
Usando C3=C1+C2, isso vira
x1,C1 + x2,C2 + x3(C1+C2) = (x1+x3),C1 + (x2+x3),C2 = 0
Basta escolher (x1+x3)=0 e (x2+x3)=0. Por exemplo, tomando x1=1, x2=1 e x3=-1, obtemos
X = 11-1,
que é não trivial e satisfaz A,X=0.

Passo 4

Para (c), ao escalonar A em forma de linha reduzida por pivôs, o fato de a terceira coluna ser soma das duas primeiras faz com que, depois de eliminar abaixo dos dois primeiros pivôs, toda a terceira linha fique nula (ou seja, não sobra nenhum elemento não nulo para um terceiro pivô). Isso reflete que o posto de A é 2, não 3, e portanto só existem dois pivôs.

Resposta

a) Porque as colunas são linearmente dependentes (terceira coluna é soma das duas primeiras), logo det(A)=0 e A não é invertível.
b) Um exemplo de solução não trivial é
X = 11-1,
pois A,X = 0.
c) No escalonamento surge apenas posto 2, pois a terceira coluna é redundante e gera uma linha nula, impedindo o terceiro pivô.

Exercícios relacionados