Sendo os pontos P=(1,3) e Q=(2,-1) no plano R^2, encontre o ponto R dado pela rotação do ponto Q ao redor do ponto P com ângulo alpha.

Passo 1

O enunciado pede para girar o ponto Q=(2,-1) em torno do ponto P=(1,3) por um ângulo alpha.
Conteúdo usado: toda rotação em R^2 se faz traduzindo para a origem, aplicando a matriz de rotação e voltando à posição original.

Passo 2

Calculemos o vetor de P a Q:
PQ = Q - P = l(2-1,,-1-3r) = (1,,-4)
Isso equivale a traduzir Q de modo que P vá para a origem.

Passo 3

Aplique a rotação de ângulo alpha ao vetor (1,-4). Por definição,
Ralpha(x,y) = l(xcos(alpha) - ysin(alpha),;xsin(alpha) + ycos(alpha)r)
Logo,
Ralpha(1,-4) = l(1cos(alpha) - (-4)sin(alpha),;1sin(alpha) + (-4)cos(alpha)r) = l(cos(alpha)+4sin(alpha),;sin(alpha)-4cos(alpha)r)

Passo 4

Agora basta traduzir de volta, somando ao ponto P=(1,3):
R = P + Ralpha(1,-4) = l(1 + cos(alpha)+4sin(alpha),;3 + sin(alpha)-4cos(alpha)r)

Resposta

R=l(1 + cos(alpha)+4sin(alpha),;3 + sin(alpha)-4cos(alpha)r)

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