Sabendo que T(1,2)=(1,-3) e T(1,-1)=(0,2) onde T: R^2 R^2 é linear, encontre uma expressão para T, isto é, encontre a expressão de T(x, y) para (x, y) in R^2 qualquer. Isto é equivalente à calcular A in R^2 times 2 tal que T(v)=A cdot v.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em e suas imagens por uma transformação linear :
Queremos achar a matriz tal que
para todo .

Passo 2

Como T é linear, existe
A = a & b[6pt]c & d
tal que
T(x,y) = (,a x + b y,;c x + d y,)
Basta usar as condições dadas para montar um sistema em a,b,c,d.]

Passo 3

Da imagem de (1,2) vem
acdot1 + bcdot2 = 1 Longrightarrow a + 2b = 1,
ccdot1 + dcdot2 = -3 Longrightarrow c + 2d = -3
Da imagem de (1,-1) vem
acdot1 + bcdot(-1) = 0 Longrightarrow a - b = 0,
ccdot1 + dcdot(-1) = 2 Longrightarrow c - d = 2

Passo 4

Resolvendo
a - b = 0Longrightarrow a = b,
substituindo em a + 2b = 1
a + 2a = 1 Longrightarrow 3a = 1 Longrightarrow a = tfrac13,;b = tfrac13
Para c,d: de c - d = 2 vem c = 2 + d. Substituindo em c + 2d = -3
(2+d) + 2d = -3 Longrightarrow 3d = -5 Longrightarrow d = -tfrac53,;c = 2 + !l(-tfrac53r)=tfrac13

Passo 5

Assim
A = tfrac13 & tfrac13[4pt]tfrac13 & -tfrac53,
logo para (x,y) qualquer
T(x,y) = l(tfrac13x + tfrac13y,; tfrac13x - tfrac53yr) = l(tfracx+y3,;tfracx-5y3r) ]

Resposta

T(x,y) = l(tfracx+y3,;tfracx-5y3r)

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