3.1 Calculando o rotacional encontre quais das seguintes forças são conservativas:
a) F=imath x+jmath y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo de força
F(x,y)=x,imath+y,jmath
é conservativo, usando o critério do rotacional. Vamos lembrar que, em R^2 (domínio simplesmente conexo), um campo é conservativo se e somente se seu rotacional for zero em toda parte.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas no plano, para um campo
F(x,y)=P(x,y),imath+Q(x,y),jmath,
o rotacional tem apenas a componente k e vale
l(nablatimesFr)cdotk = partial Qpartial x - partial Ppartial y

Passo 3

Identificamos as componentes do nosso campo:
P(x,y)=x, Q(x,y)=y

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x(y)=0,
partial Ppartial y = partialpartial y(x)=0
Logo
partial Qpartial x-partial Ppartial y=0-0=0,
ou seja, nablatimesF=0 em todo o plano.

Passo 5

Como o rotacional é nulo e o domínio de F é todo R^2 (que é simplesmente conexo), concluímos que F é conservativo.

Resposta

a) A força F=x,imath+y,jmath é conservativa.

Exercícios relacionados