Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear T: K^n K^n dado por sua matriz [T]B é diagonalizável. Em caso positivo, calcule uma base de autovetores e a sua forma diagonal.
(ll1 & 0 0 & 0) in M2(C)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma matriz 1 & 0 0 & 0 e precisa descobrir se ela é diagonalizável. Diagonalizável significa que a matriz pode ser transformada em uma forma diagonal (onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero) usando uma base de vetores próprios. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são os números lambda que satisfazem a equação característica:
det(T - lambda I) = 0
Onde T é a nossa matriz e I é a matriz identidade. Vamos calcular isso para a nossa matriz.

Passo 3

Calculando a matriz T - lambda I :
T - lambda I = 1 - lambda & 0 0 & -lambda
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(T - lambda I) = (1 - lambda)(-lambda) = -lambda(1 - lambda)

Passo 4

Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação:
-lambda(1 - lambda) = 0
Isso nos dá duas soluções:
lambda = 0 e lambda = 1
Então, os autovalores são 0 e 1.

Passo 5

Agora precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com [\lambda = 1).
Para , resolvemos :
Isso simplifica para:
Da segunda equação, temos são da forma , onde pode ser qualquer número.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores para [\lambda = 0). Resolvemos :
Isso nos dá as equações:
Da primeira equação, são da forma , onde pode ser qualquer número.

Passo 7

Com os autovalores e seus respectivos autovetores, podemos concluir que a matriz possui dois autovalores distintos com suas respectivas direções de autovetor. Isso significa que existe uma base de autovetores formada por vetores linearmente independentes.

Passo 8

Como encontramos uma base de autovetores e os autovalores são distintos, a matriz é diagonalizável. Além disso, a matriz já está na forma diagonal, onde os autovalores estão na diagonal principal.

Resposta

Sim, a matriz 1 & 0 0 & 0 é diagonalizável. Uma base de autovetores é 1 0 , 0 1 e sua forma diagonal é 1 & 0 0 & 0 .

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