Seja E=:p: R longrightarrow R ; p é um polinômio . Mostre que o operador de derivação D: E longrightarrow E não possui autovalores.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto E = p: R longrightarrow R ; p é um polinômio , ou seja, o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais. O operador de derivação D: E longrightarrow E pega qualquer polinômio e retorna sua derivada. A pergunta é para mostrar que esse operador D não possui autovalores. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores e como a derivação age nos polinômios.

Passo 2

Vamos lembrar o que é um autovalor. Para um operador linear D , um número lambda é um autovalor se existe um polinômio não nulo p tal que D(p) = lambda p . Ou seja, ao aplicar D em p , você obtém o próprio polinômio multiplicado por lambda . Nosso objetivo é mostrar que não existe nenhum lambda que satisfaça isso para o operador de derivação nos polinômios.

Passo 3

Vamos considerar um polinômio geral p(x) = an x^n + an-1 x^n-1 + dots + a1 x + a0 . Ao aplicar o operador de derivação, temos:
D(p) = p'(x) = n an x^n-1 + (n-1)an-1 x^n-2 + dots + a1
Para que p seja um autovetor de D com autovalor lambda , deve valer que:
p'(x) = lambda p(x)

Passo 4

Vamos igualar os dois lados:
n an x^n-1 + (n-1)an-1 x^n-2 + dots + a1 = lambda (an x^n + an-1 x^n-1 + dots + a1 x + a0)
Comparando os termos de cada potência de x , vemos que o grau do polinômio à esquerda é n-1 e o da direita é n . A única maneira de isso acontecer é se todos os coeficientes de x^k para k >= 1 forem zero, o que implica que todos os coeficientes do polinômio p(x) devem ser zero, ou seja, p(x) = 0 .

Passo 5

Isso significa que o único polinômio que satisfaz D(p) = lambda p é o polinômio nulo. Mas para ser um autovetor, p precisa ser não nulo. Portanto, não existe nenhum polinômio não nulo p e nenhum número lambda que satisfaça D(p) = lambda p .

Resposta

O operador de derivação D não possui autovalores no conjunto E dos polinômios.

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