Seja
é um polinômio
. Mostre que o operador de derivação
não possui autovalores.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
é um polinômio
, ou seja, o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais. O operador de derivação
pega qualquer polinômio e retorna sua derivada. A pergunta é para mostrar que esse operador
não possui autovalores. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores e como a derivação age nos polinômios.
Passo 2
Vamos lembrar o que é um autovalor. Para um operador linear
, um número
é um autovalor se existe um polinômio não nulo
tal que
. Ou seja, ao aplicar
em
, você obtém o próprio polinômio multiplicado por
. Nosso objetivo é mostrar que não existe nenhum
que satisfaça isso para o operador de derivação nos polinômios.
Passo 3
Vamos considerar um polinômio geral
. Ao aplicar o operador de derivação, temos:
Para que
seja um autovetor de
com autovalor
, deve valer que:
Passo 4
Vamos igualar os dois lados:
Comparando os termos de cada potência de
, vemos que o grau do polinômio à esquerda é
e o da direita é
. A única maneira de isso acontecer é se todos os coeficientes de
para
forem zero, o que implica que todos os coeficientes do polinômio
devem ser zero, ou seja,
.
Passo 5
Isso significa que o único polinômio que satisfaz
é o polinômio nulo. Mas para ser um autovetor,
precisa ser não nulo. Portanto, não existe nenhum polinômio não nulo
e nenhum número
que satisfaça
.
Resposta
O operador de derivação
não possui autovalores no conjunto
dos polinômios.