Considere
semidefinida positiva singular e
. Mostre existe um único
satisfazendo
. Além disso, se
é o menor autovalor positivo de
, então
.
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma matriz
que é simétrica, semidefinida positiva e singular, ou seja, todos os seus autovalores são não negativos e pelo menos um deles é zero. Além disso, o vetor
está no espaço imagem de
(
), o que significa que existe pelo menos um vetor
tal que
. O objetivo é mostrar que existe um único vetor
também em
que satisfaz a equação
. Além disso, queremos relacionar a norma de
com a menor autovalor positiva de
, denotada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que existe um único
em
que satisfaz
. Sabemos que
é semidefinida positiva e
, então a equação
tem pelo menos uma solução.
Passo 3
Para garantir a unicidade de
, consideramos que
é singular, o que significa que seu núcleo (
) não é trivial. Porém, como estamos buscando
em
, estamos restringindo a solução a um subespaço onde
é invertível. Portanto, dentro de
, a solução é única.
Passo 4
Agora, vamos relacionar
com
. Sabemos que os autovalores de
são não negativos e
é o menor autovalor positivo. Isso implica que para qualquer vetor
em
, temos:
Passo 5
Aplicando isso especificamente para
, obtemos:
Isso mostra a relação desejada entre a norma de
e
.
Resposta
Existe um único vetor
que satisfaz
e
.