Considere A in R^n times n semidefinida positiva singular e b in Im(A). Mostre existe um único x^* in Im(A) satisfazendo A x^*+b=0. Além disso, se lambdal é o menor autovalor positivo de A, então |A x^*| >= lambdal|x^*|.

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma matriz A que é simétrica, semidefinida positiva e singular, ou seja, todos os seus autovalores são não negativos e pelo menos um deles é zero. Além disso, o vetor b está no espaço imagem de A ( Im(A) ), o que significa que existe pelo menos um vetor x tal que A x = b . O objetivo é mostrar que existe um único vetor x^* também em Im(A) que satisfaz a equação A x^* + b = 0 . Além disso, queremos relacionar a norma de A x^* com a menor autovalor positiva de A , denotada por lambdal .

Passo 2

Primeiro, vamos provar que existe um único x^* em Im(A) que satisfaz A x^* + b = 0 . Sabemos que A é semidefinida positiva e b in Im(A) , então a equação A x^* = -b tem pelo menos uma solução.

Passo 3

Para garantir a unicidade de x^* , consideramos que A é singular, o que significa que seu núcleo ( ker(A) ) não é trivial. Porém, como estamos buscando x^* em Im(A) , estamos restringindo a solução a um subespaço onde A é invertível. Portanto, dentro de Im(A) , a solução é única.

Passo 4

Agora, vamos relacionar |A x^*| com lambdal |x^*| . Sabemos que os autovalores de A são não negativos e lambdal é o menor autovalor positivo. Isso implica que para qualquer vetor x em Im(A) , temos:
|A x| >= lambdal |x|

Passo 5

Aplicando isso especificamente para x^* , obtemos:
|A x^*| >= lambdal |x^*|
Isso mostra a relação desejada entre a norma de A x^* e lambdal |x^*| .

Resposta

Existe um único vetor x^* in Im(A) que satisfaz A x^* + b = 0 e |A x^*| >= lambdal |x^*| .

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