Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear T: K^n K^n dado por sua matriz [T]B é diagonalizável. Em caso positivo, calcule uma base de autovetores e a sua forma diagonal.
(rrr2 & 6 & 3 -3 & -7 & -3 6 & 12 & 5) in M3(R)

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base B é
M= 2 & 6 & 3 -3 & -7 & -3 6 & 12 & 5
e pede para decidir se T é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar uma base de autovetores de T e a forma diagonal correspondente. Para isso vamos usar o polinômio característico, achar autovalores, calcular os autespaços e comparar multiplicidades algébricas e geométricas.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico chiT(lambda)=det(M-lambda I). Chamando
M-lambda I = 2-lambda & 6 & 3 -3 & -7-lambda & -3 6 & 12 & 5-lambda ,
fazendo a expansão e fatorando chega-se a
chiT(lambda) =(2-lambda),(lambda+1)^2

Passo 3

Dos fatores obtemos os autovalores com suas multiplicidades algébricas:
lambda1=2(mu< 1), lambda2=-1(mu< 2)

Passo 4

Calculamos os autespaços:
  1. Para
que reduz a . Logo um autovetor é
  1. Para resolvemos . Fica
Isso mostra que o espaço próprio tem dimensão e uma base pode ser escolhida como

Passo 5

Como a soma das dimensões dos autespaços ( 1+2=3) é igual à dimensão total ( 3), T é diagonalizável. A base de autovetores é v1,v2,v3 e a matriz diagonal na ordem (v1,v2,v3) é diag(2,-1,-1).

Resposta

Uma base de autovetores é
-11-2,; -210,; -101,
e a forma diagonal correspondente é
2 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

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