Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear dado por sua matriz é diagonalizável. Em caso positivo, calcule uma base de autovetores e a sua forma diagonal.
Passo 1
O enunciado dá o operador linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base B é
M= 2 & 6 & 3 -3 & -7 & -3 6 & 12 & 5
e pede para decidir se T é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar uma base de autovetores de T e a forma diagonal correspondente. Para isso vamos usar o polinômio característico, achar autovalores, calcular os autespaços e comparar multiplicidades algébricas e geométricas.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico chiT(lambda)=det(M-lambda I). Chamando
Dos fatores obtemos os autovalores com suas multiplicidades algébricas:
lambda1=2(mu< 1), lambda2=-1(mu< 2)
Passo 4
Calculamos os autespaços:
Para
que reduz a . Logo um autovetor é
Para resolvemos . Fica
Isso mostra que o espaço próprio tem dimensão e uma base pode ser escolhida como
Passo 5
Como a soma das dimensões dos autespaços (1+2=3) é igual à dimensão total (3), T é diagonalizável. A base de autovetores é v1,v2,v3 e a matriz diagonal na ordem (v1,v2,v3) é diag(2,-1,-1).