(a) Mostre que se B, M \in M_{n}(\mathbb{K}), com M invertível, então \left(M^{-1} B M\right)^{n}=\left(M^{-1} B^{n} M\right) para todo n \in \mathbb{N}.
(b) Calcule A^{n}, n \in \mathbb{N}, onde
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
Para (a): B, M \in M_{n}(\mathbb{K}) e M é invertível.
Para (b): a matrizA=\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 3 & 13\end{pmatrix}e pede-se A^{n} para todo n\in\mathbb{N}.
Perguntas:
(a) Mostrar que \left(M^{-1} B M\right)^{n}=M^{-1} B^{n} M para todo n\in\mathbb{N}.
(b) Calcular explicitamente A^{n} para todo n\in\mathbb{N}.]
Passo 2
Prova da propriedade em (a): começo explicando a ideia geral. A igualdade a provar diz que fazer uma conjugação por M e depois elevar à potência n é o mesmo que elevar B a n e só então conjugar. A maneira mais direta e limpa é por indução em n.
Passo 3
Base da indução (n=1). Para n=1 a igualdade é trivial:
\left(M^{-1}BM\right)^{1}=M^{-1}BM,
que coincide com M^{-1}B^{1}M. Logo vale para n=1.
Passo 4
Passo indutivo. Suponha que para algum k\in\mathbb{N} vale
Agora aplicamos a associatividade da multiplicação de matrizes e agrupamos:
\bigl(M^{-1}B^{k}M\bigr)\bigl(M^{-1}BM\bigr) = M^{-1}B^{k}\underbrace{M M^{-1}}_{\;I\;} B M.
Como M é invertível, M M^{-1}=I (matriz identidade), então
M^{-1}B^{k} M M^{-1} B M = M^{-1}B^{k} I B M = M^{-1}B^{k} B M = M^{-1}B^{k+1}M.
Portanto
\left(M^{-1}BM\right)^{k+1}=M^{-1}B^{k+1}M,
concluindo o passo indutivo.
Passo 5
Conclusão da parte (a). Pela base e pelo passo indutivo, por Princípio da Indução Matemática, para todo n\in\mathbb{N} vale
\boxed{\left(M^{-1}BM\right)^{n}=M^{-1}B^{n}M.}
Observação prática: isto diz que potências preservam a relação de similaridade (conjugação). Esta propriedade será útil para calcular potências quando diagonalizarmos matrizes.
Passo 6
Agora parte (b): estratégia para calcular A^{n}. Uma técnica poderosa para potências de matrizes 2\times2 é diagonalizar A (se possível): encontrar uma matriz invertível P tal que
A=PDP^{-1},
com D diagonal; então, usando a propriedade provada em (a) (ou a sua variante), obtemos
A^{n}=P D^{n} P^{-1},
e D^{n} é fácil de calcular (é só elevar cada entrada diagonal). Então vou tentar diagonalizar A: preciso dos autovalores e autovetores de A.
Passo 7
Cálculo dos autovalores de A. O polinômio característico é
Diagonalização e uso da propriedade das potências. Como A=PDP^{-1}, pela propriedade do item (a) (ou pela observação direta), para todo n\in\mathbb{N} vale
A^{n}=P D^{n} P^{-1}.
Como D é diagonal, D^{n}=\operatorname{diag}(14^{n},1^{n})=\operatorname{diag}(14^{n},1).
Passo 11
Cálculo explícito de A^{n}. Primeiro computo o produto D^{n}P^{-1}: