(a) Mostre que se B, M \in M_{n}(\mathbb{K}), com M invertível, então \left(M^{-1} B M\right)^{n}=\left(M^{-1} B^{n} M\right) para todo n \in \mathbb{N}.
(b) Calcule A^{n}, n \in \mathbb{N}, onde
A=\left(\begin{array}{cc} 2 & 4 \\\\ 3 & 13 \end{array}\right)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Para (a): B, M \in M_{n}(\mathbb{K}) e M é invertível.
    • Para (b): a matriz A=\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 3 & 13\end{pmatrix}e pede-se A^{n} para todo n\in\mathbb{N}.
  • Perguntas:
    • (a) Mostrar que \left(M^{-1} B M\right)^{n}=M^{-1} B^{n} M para todo n\in\mathbb{N}.
    • (b) Calcular explicitamente A^{n} para todo n\in\mathbb{N}.]

Passo 2

Prova da propriedade em (a): começo explicando a ideia geral. A igualdade a provar diz que fazer uma conjugação por M e depois elevar à potência n é o mesmo que elevar B a n e só então conjugar. A maneira mais direta e limpa é por indução em n.

Passo 3

Base da indução ( n=1). Para n=1 a igualdade é trivial:
\left(M^{-1}BM\right)^{1}=M^{-1}BM,
que coincide com M^{-1}B^{1}M. Logo vale para n=1.

Passo 4

Passo indutivo. Suponha que para algum k\in\mathbb{N} vale
\left(M^{-1}BM\right)^{k}=M^{-1}B^{k}M.
Queremos provar que vale para k+1. Calculamos:
\left(M^{-1}BM\right)^{k+1} =\left(M^{-1}BM\right)^{k}\left(M^{-1}BM\right).
Pelo hipótese indutiva substituímos a potência k:
\left(M^{-1}BM\right)^{k+1} = \bigl(M^{-1}B^{k}M\bigr)\bigl(M^{-1}BM\bigr).
Agora aplicamos a associatividade da multiplicação de matrizes e agrupamos:
\bigl(M^{-1}B^{k}M\bigr)\bigl(M^{-1}BM\bigr) = M^{-1}B^{k}\underbrace{M M^{-1}}_{\;I\;} B M.
Como M é invertível, M M^{-1}=I (matriz identidade), então
M^{-1}B^{k} M M^{-1} B M = M^{-1}B^{k} I B M = M^{-1}B^{k} B M = M^{-1}B^{k+1}M.
Portanto
\left(M^{-1}BM\right)^{k+1}=M^{-1}B^{k+1}M,
concluindo o passo indutivo.

Passo 5

Conclusão da parte (a). Pela base e pelo passo indutivo, por Princípio da Indução Matemática, para todo n\in\mathbb{N} vale
\boxed{\left(M^{-1}BM\right)^{n}=M^{-1}B^{n}M.}
Observação prática: isto diz que potências preservam a relação de similaridade (conjugação). Esta propriedade será útil para calcular potências quando diagonalizarmos matrizes.

Passo 6

Agora parte (b): estratégia para calcular A^{n}. Uma técnica poderosa para potências de matrizes 2\times2 é diagonalizar A (se possível): encontrar uma matriz invertível P tal que
A=PDP^{-1},
com D diagonal; então, usando a propriedade provada em (a) (ou a sua variante), obtemos
A^{n}=P D^{n} P^{-1},
e D^{n} é fácil de calcular (é só elevar cada entrada diagonal). Então vou tentar diagonalizar A: preciso dos autovalores e autovetores de A.

Passo 7

Cálculo dos autovalores de A. O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=0.
Calculo
\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & 4 \\[4pt] 3 & 13-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)(13-\lambda)-4\cdot 3.
Expandindo:
=(2-\lambda)(13-\lambda)-12 = (26-2\lambda-13\lambda+\lambda^{2})-12 =\lambda^{2}-15\lambda+14.
Portanto os autovalores são raízes de
\lambda^{2}-15\lambda+14=0.
Resolver a quadrática: o discriminante é
\Delta=15^{2}-4\cdot1\cdot14=225-56=169,
logo \sqrt{\Delta}=13. Assim
\lambda=\frac{15\pm13}{2}.
Isso dá os autovalores
\lambda_{1}=14,\qquad \lambda_{2}=1.]

Passo 8

Encontrar autovetores (vetores próprios).
  • Para \lambda_{1}=14 resolvemos (A-14I)x=0, ou
    \begin{pmatrix}2-14 & 4 \\[4pt] 3 & 13-14\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-12 & 4 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.
    A equação -12x+4y=0 4y=12x\Rightarrow y=3x. Escolho o autovetor
    v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
  • Para \lambda_{2}=1 resolvemos (A-I)x=0, ou
    \begin{pmatrix}2-1 & 4 \\[4pt] 3 & 13-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 4 \\[4pt] 3 & 12\end{pmatrix}.
    A equação x+4y=0 x=-4y. Escolho o autovetor
    v_{2}=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Os vetores v_{1} e v_{2} são linearmente independentes (podem ser verificados), logo A é diagonalizável.]

Passo 9

Formo a matriz P cujas colunas são os autovetores e a matriz diagonal D com os autovalores:
P=\begin{pmatrix}1 & -4 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}14 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Verifico o determinante de P para poder inverter:
\det(P)=1\cdot 1 - (-4)\cdot 3 = 1+12=13\neq 0,
portanto P é invertível. A inversa de uma 2\times2 é dada por
P^{-1}=\frac{1}{\det(P)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix} =\frac{1}{13}\begin{pmatrix}1 & 4 \\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 10

Diagonalização e uso da propriedade das potências. Como A=PDP^{-1}, pela propriedade do item (a) (ou pela observação direta), para todo n\in\mathbb{N} vale
A^{n}=P D^{n} P^{-1}.
Como D é diagonal, D^{n}=\operatorname{diag}(14^{n},1^{n})=\operatorname{diag}(14^{n},1).

Passo 11

Cálculo explícito de A^{n}. Primeiro computo o produto D^{n}P^{-1}:
D^{n}P^{-1}=\begin{pmatrix}14^{n} & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} \cdot\frac{1}{13}\begin{pmatrix}1 & 4 \\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix} =\frac{1}{13}\begin{pmatrix}14^{n} & 4\cdot 14^{n} \\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix}.
Agora multiplico P por esse resultado:
A^{n}=P D^{n} P^{-1} =\begin{pmatrix}1 & -4 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix} \cdot\frac{1}{13}\begin{pmatrix}14^{n} & 4\cdot 14^{n} \\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix}.
Faço a multiplicação explicitamente (cada entrada calculada passo a passo):
  • Entrada (1,1):
1\cdot 14^{n} + (-4)\cdot(-3) = 14^{n}+12.
  • Entrada (1,2):
1\cdot 4\cdot 14^{n} + (-4)\cdot 1 = 4\cdot 14^{n}-4 = 4(14^{n}-1).
  • Entrada (2,1):
3\cdot 14^{n} + 1\cdot(-3) = 3\cdot 14^{n}-3 = 3(14^{n}-1).
  • Entrada (2,2):
3\cdot 4\cdot 14^{n} + 1\cdot 1 = 12\cdot 14^{n}+1.
Lembrando do fator \tfrac{1}{13}, obtemos
A^{n}=\frac{1}{13}\begin{pmatrix} 14^{n}+12 & 4(14^{n}-1) \\[6pt] 3(14^{n}-1) & 12\cdot 14^{n}+1 \end{pmatrix}.]

Passo 12

Pequena verificação (conforto): para n=1 a fórmula dá
A^{1}=\frac{1}{13}\begin{pmatrix}14+12 & 4(14-1) \\[4pt] 3(14-1) & 12\cdot14+1\end{pmatrix} =\frac{1}{13}\begin{pmatrix}26 & 52 \\[4pt] 39 & 169\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 3 & 13\end{pmatrix},
que coincide com A, então a fórmula está consistente.]

Resposta

(a) \left(M^{-1}BM\right)^{n}=M^{-1}B^{n}M para todo n\in\mathbb{N}.
(b) A^{n}=\frac{1}{13}\begin{pmatrix} 14^{n}+12 & 4\bigl(14^{n}-1\bigr) \\[6pt] 3\bigl(14^{n}-1\bigr) & 12\cdot 14^{n}+1 \end{pmatrix},\quad n\in\mathbb{N}.]

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