Sejam T: V \rightarrow V e S: V \rightarrow V transformações lineares. Suponha que v \in V é um autovetor de T e de S associado aos autovalores \lambda_{1} e \lambda_{2} de T e S, respectivamente. Ache um autovetor e um autovalor de:
\alpha S+\beta T onde \alpha, \beta \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a resposta indicada:
  • São dadas transformações lineares T: V \rightarrow V e S: V \rightarrow V.
  • Existe um vetor v\in V que é autovetor de ambas as transformações, ou seja:
    • T(v)=\lambda_{1} v, onde \lambda_{1} é o autovalor de T associado a v.
    • S(v)=\lambda_{2} v, onde \lambda_{2} é o autovalor de S associado a v.
  • Dados escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
  • O que se pede: encontrar um autovetor e um autovalor da transformação linear \alpha S+\beta T.

Passo 2

Lembrando a definição que vamos usar (explicação didática): um vetor v\in V é um autovetor de uma transformação linear A:V\to V se v\neq 0 e existe \mu\in\mathbb{R} tal que A(v)=\mu v. O número \mu é o autovalor associado a v. Outra peça essencial é a linearidade das transformações: para quaisquer escalares c,d e vetores x,y vale
A(cx+dy)=cA(x)+dA(y).
No nosso caso vamos aplicar a linearidade à combinação \alpha S+\beta T.

Passo 3

Aplicar a transformação \alpha S+\beta T ao vetor v e usar a linearidade termo a termo. Escrevendo isso:
(\alpha S+\beta T)(v)=\alpha S(v)+\beta T(v).

Passo 4

Agora substituímos as hipóteses S(v)=\lambda_{2} v e T(v)=\lambda_{1} v na expressão anterior:
\alpha S(v)+\beta T(v)=\alpha(\lambda_{2} v)+\beta(\lambda_{1} v).

Passo 5

Fatorando v da expressão do lado direito (lembrando que escalares comutam e somam normalmente), obtemos:
\alpha(\lambda_{2} v)+\beta(\lambda_{1} v)=(\alpha\lambda_{2}+\beta\lambda_{1})v.
Assim chegamos à igualdade
(\alpha S+\beta T)(v)=(\alpha\lambda_{2}+\beta\lambda_{1})v.

Passo 6

Interpretação final e condição: da última igualdade segue que v é um autovetor de \alpha S+\beta T (desde que v\neq 0, condição já garantida por ser autovetor), e o autovalor associado é o escalar \alpha\lambda_{2}+\beta\lambda_{1}. Na prática, em prova, basta aplicar linearidade e substituir as equalidades dadas — não tem passo oculto.

Passo 7

Exemplo numérico curto para fixar a ideia: suponha \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=5, \alpha=3, \beta=4. Então o autovalor de \alpha S+\beta T correspondente a v é
\alpha\lambda_{2}+\beta\lambda_{1}=3\cdot5+4\cdot2=15+8=23,
e v continua sendo o autovetor.

Resposta

v é autovetor de \alpha S+\beta T e o autovalor correspondente é \alpha\lambda_{2}+\beta\lambda_{1}.

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