Sejam
e
transformações lineares. Suponha que
é um autovetor de
e de
associado aos autovalores
e
de
e
, respectivamente. Ache um autovetor e um autovalor de:
onde
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a resposta indicada:
- São dadas transformações lineares
e . - Existe um vetor
que é autovetor de ambas as transformações, ou seja: -
, onde é o autovalor de associado a . -
, onde é o autovalor de associado a .
-
- Dados escalares
. - O que se pede: encontrar um autovetor e um autovalor da transformação linear
.
Passo 2
Lembrando a definição que vamos usar (explicação didática): um vetor
é um autovetor de uma transformação linear
se
e existe
tal que
. O número
é o autovalor associado a
. Outra peça essencial é a linearidade das transformações: para quaisquer escalares
e vetores
vale
No nosso caso vamos aplicar a linearidade à combinação
.
Passo 3
Aplicar a transformação
ao vetor
e usar a linearidade termo a termo. Escrevendo isso:
Passo 4
Agora substituímos as hipóteses
e
na expressão anterior:
Passo 5
Fatorando
da expressão do lado direito (lembrando que escalares comutam e somam normalmente), obtemos:
Assim chegamos à igualdade
Passo 6
Interpretação final e condição: da última igualdade segue que
é um autovetor de
(desde que
, condição já garantida por ser autovetor), e o autovalor associado é o escalar
. Na prática, em prova, basta aplicar linearidade e substituir as equalidades dadas — não tem passo oculto.
Passo 7
Exemplo numérico curto para fixar a ideia: suponha
,
,
,
. Então o autovalor de
correspondente a
é
e
continua sendo o autovetor.