Em cada um dos casos abaixo, determine se o conjunto é ortogonal.
.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3:
u = (a,b,c), v = (-b,a,0), w = (-ac,-bc,a^2+b^2),
e pede para verificar se o conjunto u,v,w é ortogonal. Para isso, vamos usar a definição de ortogonalidade via produto escalar: dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar entre eles for zero. Precisamos então calcular ucdot v, ucdot w e vcdot w.

Passo 2

Calcular u cdot v. Usamos
u cdot v = acdot(-b) + bcdot a + ccdot 0 = -ab + ab + 0 = 0
Logo, u é ortogonal a v.

Passo 3

Calcular u cdot w. Usamos
u cdot w = acdot(-ac) + bcdot(-bc) + c,(a^2+b^2) = -a^2c - b^2c + c(a^2+b^2) = 0
Portanto, u é ortogonal a w.

Passo 4

Calcular v cdot w. Usamos
v cdot w = (-b)cdot(-ac) + acdot(-bc) + 0cdot(a^2+b^2) = abc - abc + 0 = 0
Logo, v é ortogonal a w.

Resposta

O conjunto u,v,w é ortogonal em R^3 porque todos os produtos escalares entre pares são iguais a zero.

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